12.1 Semi continuità[2CV]

Sia $(X,𝜏)$ uno spazio topologico.

Si noti che $f$ è semicontinua inferioriormente se e solo se $(-f)$ è semicontinua superiormente: dunque in molti esercizi successivi vedremo solo i casi s.c.i.

E346

[139] Sia $f:ℝ\to ℝ$ definita come $f(x)=1$ se $x\in ℝ⧵\mathbb{Q}$, $f(0)=0$ e e $f(x)=1/q$ se $|x|=p/q$ con $p,q$ numeri interi primi tra loro con $q\ge 1$. Mostrare che f è continua su $ℝ⧵\mathbb{Q}$ e discontinua in ogni $t\in \mathbb{Q}$.

Mostrate che la funzione descritta è s.c.s. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13B’]

E346

[13C]Prerequisiti:1.

Costruire una funzione monotona con la stessa proprietà di quella vista nell’esercizio 1.

E346

[13D]Sia $f:X\to ℝ$; le seguenti asserzioni sono equivalenti:

1. $f$ è semicontinua inferiormente,

2. per ogni $t$, si ha che il sottolivello

   $$S_t=\{x\in X,f(x)\le t\}$$

   è chiuso,

3. l’epigrafico

   $$E=\{(x,t)\in X\times ℝ,f(x)\le t\}$$

   è chiuso in $X\times ℝ$.

Si noti che la seconda condizione comporta che $f$ è continua da $(X,𝜏)$ in $ℝ,{𝜏}_{+}$ dove ${𝜏}_{+}=\{(a,\infty ):a\in ℝ\}\cup \{\varnothing ,ℝ\}$ è l’insieme delle semirette, che è una topologia (facile verifica).

Si formuli poi l’equivalente teorema per le funzioni semicontinue superiormente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13F’]

E346

[13G]Se $f,g:X\to ℝ$ sono semicontinue inferiormente, allora $f+g$ è s.c.i. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13H’]

E346

[13J]Sia $I$ una famiglia di indici; poi, per $n\in I$, $f_n:X\to ℝ$ siano funzioni s.c.i., definiamo $f\stackrel{.}{=}\underset{n\in I}{sup}{f}_n$ allora $f$ è s.c.i. (a valori $f:X\to ℝ\cup \{+\infty \}$). ¹ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13K’]

E346

[13M]Viceversa, data $f:ℝ\to ℝ\cup \{+\infty \}$ s.c.i., si mostri che esiste sempre una successione crescente di funzioni $f_n:ℝ\to ℝ$ continue tali che $f_n(x){\to }_{n}f(x)$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13N’]

E346

[13P]Argomenti:inf-convoluzione. Difficoltà:*. Nel caso in cui $(X,d)$ sia uno spazio metrico e $f:X\to ℝ\cup \{+\infty \}$ sia s.c.i. limitata dal basso, sia

$$f_n(x)\stackrel{.}{=}\underset{y\in X}{inf}\{f(y)+nd(x,y)\}$$

la inf-convoluzione: si mostri che la successione $f_n$ è una successione crescente di funzioni Lipschitziane con $f_n(x){\to }_{n}f(x)$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13Q’]

E346

[13R]Data $f:X\to ℝ$, si definisce

$$f^{\ast }(x)=f(x)\vee \underset{y\to x}{lim sup}f(y);$$

si mostri che $f^{\ast }(x)$ è la più piccola funzione semi continua superiore che è maggiore o uguale a $f$ in ogni punto.

Similmente si definisce

$$f_{\ast }(x)=f(x)\wedge \underset{y\to x}{lim inf}f(y)$$

e si ha $-(f^{\ast })=(-f{)}_{\ast }$, e che dunque $f_{\ast }(x)$ è la più grande funzione semi continua inferiore che è minore o uguale a $f$ in ogni punto.

Si noti infine che $f^{\ast }\ge f_{\ast }$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13S’]

E346

[13T]Argomenti:oscillazione.

Data una qualunque $f:X\to ℝ$, si definisce la funzione oscillazione $\mathrm{osc}(f)$

$$\mathrm{osc}(f)(x)\stackrel{.}{=}{f}^{\ast }(x)-f_{\ast }(x)$$

1. Si noti che $\mathrm{osc}(f)\ge 0$, e che $f$ è continua in $x$ se e solo se $\mathrm{osc}(f)(x)=0$.

2. Si mostri che $\mathrm{osc}(f)$ è semicontinua superiore.

3. Se $(X,d)$ è uno spazio metrico, si noti che

   $$\mathrm{osc}(f)(x)\stackrel{.}{=}\underset{\epsilon \to 0+}{lim}sup\{|f(y)-f(z)|,d(x,y)<\epsilon ,d(x,z)<\epsilon \}.$$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13V’]

E346

[13W]Sia $(X,𝜏)$ uno spazio topologico e $f:X\to ℝ$ una funzione; sia $\bar{x}\in X$ un punto di accumulazione; sia infine $U_n$ una famiglia di intorni aperti di $\bar{x}$ con $U_n\supseteq U_{n+1}$. Allora esiste una successione $(x_n)\subset X$ con $x_n\in U_n$ e $x_n\ne \bar{x}$ e tale che

$$\underset{n\to \infty }{lim}f(x_n)=\underset{x\to \bar{x}}{lim inf}f(x).$$

(Si noti che in generale non pretendiamo né ci aspettiamo che $x_n\to \bar{x}$). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13X’]

E346

[13Y] Sia $(X,𝜏)$ uno spazio topologico e $f:X\to ℝ$ una funzione; sia $\bar{x}\in X$ un punto di accumulazione; Sia $A$ l’insieme di tutti i limiti $\underset{n}{lim}f(x_n)$ (quando esistono) per tutte le successioni $(x_n)\subset X$ tali che $x_n\to \bar{x}$; allora

$$\underset{x\to \bar{x}}{lim inf}f(x)\le infA;$$

inoltre se $(X,𝜏)$ soddisfa il primo assioma di numerabilità, allora l’uguaglianza vale e $infA=minA$.

E346

[13Z]Sia $f_1:[0,\infty ]\to [0,\infty ]$ funzione monotona (debolmente crescente) e continua a destra. Sia poi $f_2:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ data da

$$f_2(s)=sup\{t\ge 0:f_1(t)>s\}$$

(con la convenzione che $sup\varnothing =0$) e poi ancora $f_3:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ data da

$$f_3(s)=sup\{t\ge 0:f_2(t)>s\}:$$

allora $f_1\equiv f_3$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’140’]