Esercizi
[13R]Data \(f:X→ℝ\), si definisce
\[ f^{*}(x)=f(x)∨ \limsup _{y→ x} f(y) \quad ; \]si mostri che \(f^{*}(x)\) è la più piccola funzione semi continua superiore che è maggiore o uguale a \(f\) in ogni punto.
Similmente si definisce
\[ f_{*}(x)=f(x)∧ \liminf _{y→ x} f(y) \]e si ha \(-(f^{*})=(- f)_{*}\), e che dunque \(f_{*}(x)\) è la più grande funzione semi continua inferiore che è minore o uguale a \(f\) in ogni punto.
Si noti infine che \(f^*≥ f_*\).
Soluzione 1