: Connessione<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2BG/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2BG]</small></span></a>

7.5 Connessione[2BG]

Definizione 252

[2BR]Sia $(X, 𝜏)$ uno spazio topologico. Dati $A, B \subseteq X$ , per abbreviare le formule useremo la notazione (nonstandard)

$A i B$ per dire che $A, B$ hanno intersezione non vuota,
$A d B$ per dire che sono disgiunti, e
$n A$ per dire che $A$ non è vuoto.

Ricordiamo la definizione di s/connessione (Cap. 5 Sez. 11 degli appunti [ 3 ] oppure Cap. 2 in [ 23 ] ).

Lo spazio $X$ è sconnesso se è l’unione disgiunta di due aperti non vuoti.
Lo spazio $X$ è connesso se non è sconnesso. Questo può essere scritto in molteplici modi, come ad esempio

$\forall A, B \in 𝜏, (n A \land n B \land X \subseteq A \cup B) \Rightarrow A i B .$
Un suo sottoinsieme $E \subseteq X$ nonvuoto è sconnesso se è sconnesso con la topologia indotta; cioè se $E$ è coperto dall’unione di due aperti, ciascuno dei quali interseca $E$ , ma che sono disgiunti in $E$ ; in simboli,

$\exists A, B \in 𝜏, E i A \land E i B \land E \subseteq A \cup B \land A \cap B \cap E = \emptyset .$
253
Similmente $E \subseteq X$ nonvuoto è connesso se è connesso con la topologia indotta. Questo si può scrivere così

$\forall A, B \in 𝜏, (E i A \land E i B \land E \subseteq A \cup B) \Rightarrow A \cap B \cap E \neq \emptyset .$
254

o equivalentemente

$\forall A, B \in 𝜏, (E \subseteq A \cup B \land A \cap B \cap E = \emptyset) \Rightarrow (E \subseteq A \lor E \subseteq B) .$
255

Nota 256

[2BS]È consuetudine assumere che l’insieme vuoto sia connesso; questo caso però è di scarso interesse, in genere lo escluderemo nei seguenti esercizi.

Vi sono molte maniere equivalenti di esprimere le precedenti definizioni; le lasciamo come (semplici) esercizi. Questo Lemma inoltre potrebbe essere utile.

Lemma 257

[2FY]Se $Y \subseteq X$ è connesso e $Y \subseteq E \subseteq \overset{―}{Y}$ , allora $E$ è connesso.

Per la dimostrazione sia veda il Teorema 5.11.6 in [ 3 ] , o Theorem 20 nel Chap. 1 in [ 15 ] .

E257

[2BT]Mostrate che le condizioni ??,?? in 252 sono equivalenti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2BV’]

E257

[0JF]Lo spazio $X$ è sconnesso se e solo se è l’unione disgiunta di due chiusi non vuoti.

E257

[0JG]Un sottoinsieme $E \subseteq X$ nonvuoto è sconnesso se $E$ è coperto dall’unione di due chiusi, ciascuno dei quali interseca $E$ , ma che sono disgiunti dentro $E$ .

E257

[0JH]Prerequisiti:252. $X$ è sconnesso se e solo se esistono $A, B \subseteq X$ nonvuoti la cui unione copre $X$ , ma tali che $\overset{―}{B} d A$ e $B d \overset{―}{A}$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JJ’]

E257

[0JK] Difficoltà:*.Supponiamo che $E \subseteq X$ sia sconnesso, possiamo supporre che

\exists A, B \in 𝜏, E i A \land E i B \land E \subseteq A \cup B \land A d B .

258

cioè che esistano di due aperti disgiunti, ciascuno dei quali interseca $E$ e che $E$ sia coperto dalla loro unione?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JM’][UNACCESSIBLE UUID ’0JP’] Si veda anche 4.

E257

[2DK]Sia $(X, 𝜏_{X})$ uno spazio topologico, e $Y \subseteq X$ lo spazio topologico con la topologia indotta

𝜏_{Y} = {A \cap Y : A \in 𝜏_{X}} .

Fissato $E \subseteq Y$ , si considerino queste affermazioni.

(cX): $E$ è connesso nello spazio topologico $(X, 𝜏_{X})$ ;
(cY): $E$ è connesso nello spazio topologico $(Y, 𝜏_{Y})$ .

Le due asserzioni sono equivalenti?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’113’]

E257

[2BW]Note:Proposizione 5.11.2 appunti [ 3 ] .

Un insieme $E \subseteq X$ è disconnesso se e solo se esiste una funzione continua $f : E \to R$ che assume esattamente due valori, ad esempio $f (E) = {0, 1}$ .

E257

[0JQ] Note:Teorema 5.11.7 appunti [ 3 ] .

Sia $I$ una famiglia di indici. Si mostri che se $E_{i}$ è una famiglia di sottoinsiemi connessi di $X$ tali che

\forall i, j \in I, E_{i} \cap E_{j} \neq \emptyset,

allora $E = ⋃_{i \in I} E_{i}$ è connesso.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JR’] [UNACCESSIBLE UUID ’0JS’]

Definizione 259

[0JT] Dato $x \in X$ , diremo che la componente connessa di $X$ contenente $x$ è l’unione di tutti i connessi che contengono $x$ (e notiamo che il singoletto ${x}$ è connesso). L’esercizio precedente 8 mostra che la componente connessa è, per l’appunto, un connesso.

E259

[0JV] Note:Sezione 5.11.2 negli appunti [ 3 ] .Si mostri che due componenti connesse o sono disgiunte o coincidono. Dunque lo spazio $X$ si partiziona in componenti connesse.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JW’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0JX’]

[0JY] Sia

C \subseteq X

un insieme chiuso; sia

K

una componente connessa di

C

: si mostri che

K

è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JZ’] [2FZ]Si trovi un esempio di uno spazio

(X, τ)

dove vi è una componente connessa che non è aperta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2G0’] [0K0] Sia ora

(X, d)

uno spazio metrico dove le palle aperte

B (x, r)

sono anche chiuse. Si mostri che le componenti connesse di

X

sono tutti e solo i singoletti

{x}

(Uno spazio dove gli unici connessi sono singoletti è detto totalmente disconnesso).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0K1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0K3’] Si vedano anche gli esercizi in Sez. 9.5.