7.5 Connessione[2BG]

Definizione 252

[2BR]Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico. Dati \(A,B⊆ X\), per abbreviare le formule useremo la notazione (nonstandard)

  • \(A{\mathbf{i}}B\) per dire che \(A,B\) hanno intersezione non vuota,

  • \(A{\mathbf{d}}B\) per dire che sono disgiunti, e

  • \({\mathbf{n}}A\) per dire che \(A\) non è vuoto.

Ricordiamo la definizione di s/connessione (Cap. 5 Sez. 11 degli appunti [ 3 ] oppure Cap. 2 in [ 23 ] ).

  • Lo spazio \(X\) è sconnesso se è l’unione disgiunta di due aperti non vuoti.

  • Lo spazio \(X\) è connesso se non è sconnesso. Questo può essere scritto in molteplici modi, come ad esempio

    \[ ∀ A,B∈ 𝜏, ( {\mathbf{n}}A ~ ∧~ {\mathbf{n}}B ~ ∧~ X⊆ A∪ B ) ⇒ A{\mathbf{i}}B~ . \]

  • Un suo sottoinsieme \(E⊆ X\) nonvuoto è sconnesso se è sconnesso con la topologia indotta; cioè se \(E\) è coperto dall’unione di due aperti, ciascuno dei quali interseca \(E\), ma che sono disgiunti in \(E\); in simboli,

    \begin{equation} ∃ A,B∈ 𝜏, E{\mathbf{i}}A ~ ∧~ E{\mathbf{i}}B~ ∧~ E⊆ A∪ B~ ∧~ A∩ B∩ E= ∅~ . \label{eq:E_ sconnesso_ lunga} \end{equation}
    253

  • Similmente \(E⊆ X\) nonvuoto è connesso se è connesso con la topologia indotta. Questo si può scrivere così

    \begin{equation} ∀ A,B∈ 𝜏, (E{\mathbf{i}}A~ ∧ ~ E{\mathbf{i}}B~ ∧ ~ E⊆ A∪ B )⇒ A∩ B∩ E≠ ∅~ .\label{eq:E_ connesso_ lunga} \end{equation}
    254

    o equivalentemente

    \begin{equation} ∀ A,B∈ 𝜏, ( E⊆ A∪ B ∧ A∩ B∩ E= ∅ )⇒ ( E⊆ A \lor E⊆ B )~ .\label{eq:E_ connesso_ lunga_ 2} \end{equation}
    255

Nota 256

[2BS]È consuetudine assumere che l’insieme vuoto sia connesso; questo caso però è di scarso interesse, in genere lo escluderemo nei seguenti esercizi.

Vi sono molte maniere equivalenti di esprimere le precedenti definizioni; le lasciamo come (semplici) esercizi. Questo Lemma inoltre potrebbe essere utile.

Lemma 257

[2FY]Se \(Y⊆ X\) è connesso e \(Y⊆ E ⊆ \overline Y\), allora \(E\) è connesso.

Per la dimostrazione sia veda il Teorema 5.11.6 in [ 3 ] , o Theorem 20 nel Chap. 1 in [ 15 ] .

E257

[2BT]Mostrate che le condizioni ??,?? in 252 sono equivalenti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2BV’]

E257

[0JF]Lo spazio \(X\) è sconnesso se e solo se è l’unione disgiunta di due chiusi non vuoti.

E257

[0JG]Un sottoinsieme \(E⊆ X\) nonvuoto è sconnesso se \(E\) è coperto dall’unione di due chiusi, ciascuno dei quali interseca \(E\), ma che sono disgiunti dentro \(E\).

E257

[0JH]Prerequisiti:252.\(X\) è sconnesso se e solo se esistono \(A,B⊆ X\) nonvuoti la cui unione copre \(X\), ma tali che \(\overline B {\mathbf{d}}A\) e \( B {\mathbf{d}}\overline A\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JJ’]

E257

[0JK] Difficoltà:*.Supponiamo che \(E⊆ X\) sia sconnesso, possiamo supporre che

\begin{equation} ∃ A,B∈ 𝜏, E{\mathbf{i}}A ~ ∧~ E{\mathbf{i}}B~ ∧~ E⊆ A∪ B~ ∧~ A{\mathbf{d}}B~ .\label{eq:E_ sconnesso_ disgiunti} \end{equation}
258

cioè che esistano di due aperti disgiunti, ciascuno dei quali interseca \(E\) e che \(E\) sia coperto dalla loro unione?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JM’][UNACCESSIBLE UUID ’0JP’] Si veda anche 4.

E257

[2DK]Sia \((X,𝜏_ X)\) uno spazio topologico, e \(Y⊆ X\) lo spazio topologico con la topologia indotta

\[ 𝜏_ Y = \{ A∩ Y: A∈ 𝜏_ X\} ~ . \]

Fissato \(E⊆ Y\), si considerino queste affermazioni.

(cX)

\(E\) è connesso nello spazio topologico \((X,𝜏_ X)\);

(cY)

\(E\) è connesso nello spazio topologico \((Y,𝜏_ Y)\).

Le due asserzioni sono equivalenti?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’113’]

E257

[2BW]Note:Proposizione 5.11.2 appunti [ 3 ] .

Un insieme \(E\subseteq X\) è disconnesso se e solo se esiste una funzione continua \(f:E\to {\mathbb {R}}\) che assume esattamente due valori, ad esempio \(f(E)=\{ 0,1\} \).

E257

[0JQ] Note:Teorema 5.11.7 appunti [ 3 ] .

Sia \(I\) una famiglia di indici. Si mostri che se \(E_ i\) è una famiglia di sottoinsiemi connessi di \(X\) tali che

\[ ∀ {i,j∈ I}~ ,~ E_ i∩ E_ j≠∅~ , \]

allora \(E=⋃_{i\in I} E_ i\) è connesso.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JR’] [UNACCESSIBLE UUID ’0JS’]

Definizione 259

[0JT] Dato \(x∈ X\), diremo che la componente connessa di \(X\) contenente \(x\) è l’unione di tutti i connessi che contengono \(x\) (e notiamo che il singoletto \(\{ x\} \) è connesso). L’esercizio precedente 8 mostra che la componente connessa è, per l’appunto, un connesso.

E259

[0JV] Note:Sezione 5.11.2 negli appunti [ 3 ] .Si mostri che due componenti connesse o sono disgiunte o coincidono. Dunque lo spazio \(X\) si partiziona in componenti connesse.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JW’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0JX’]

[0JY] Sia \(C⊆ X\) un insieme chiuso; sia \(K\) una componente connessa di \(C\): si mostri che \(K\) è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0JZ’] [2FZ]Si trovi un esempio di uno spazio \((X,\tau )\) dove vi è una componente connessa che non è aperta. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2G0’] [0K0] Sia ora \((X,d)\) uno spazio metrico dove le palle aperte \(B(x,r)\) sono anche chiuse. Si mostri che le componenti connesse di \(X\) sono tutti e solo i singoletti \(\{ x\} \).

(Uno spazio dove gli unici connessi sono singoletti è detto totalmente disconnesso).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0K1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0K3’] Si vedano anche gli esercizi in Sez. 9.5.