10.5 Connessione[2C5]
Si vedano le definizioni in Sez. 8.5. Definiamo inoltre questa nozione.
[0RG]Uno spazio topologico \((X,𝜏)\) si dice “connesso per archi” se per ogni \(x,y∈ X\) esiste un arco continuo \(𝛾:[a,b]→ X\) con \(x=𝛾(a),y=𝛾(b)\).
- E295
[0RH] Trovate una successione di insiemi chiusi connessi \(C_ n⊆ℝ^ 2\) tali che \(C_{n+1}⊆ C_ n\) e l’intersezione \(⋂_ nC_ n\) è un insieme non-vuoto e sconnesso.
Si può trovare un simile esempio in \(ℝ\)?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RJ’]
- E295
[0RK] Trovate una successione di insiemi chiusi e connessi per archi \(C_ n⊆ℝ^ 2\) tali che \(C_{n+1}⊆ C_ n\) e l’intersezione \(⋂_ nC_ n\) è non vuoto, connesso, ma non connesso per archi.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RM’][UNACCESSIBLE UUID ’0RN’]
- E295
[0RP] Consideriamo l’esempio di insieme \(E⊆ℝ^ 2\) dato da
\begin{equation} E=\big\{ (0,t):\ -1≤ t≤1\big\} ∪\Big\{ \Big(x,\sin \frac 1 x\Big):\ x∈ (0,1]\Big\} \quad .\label{eq:connesso_ ma_ non_ archi} \end{equation}296Mostrare che questo insieme è chiuso, connesso, ma non è connesso per archi.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RQ’]
Si veda anche [ 49 ] .
- E295
[0RR] Difficoltà:*.Sia \((X,d)\) uno spazio metrico. Mostrate che \(E⊆ X\) è sconnesso se e solo se “esistono due aperti disgiunti, ciascuno dei quali interseca \(E\) e tali che \(E\) sia coperto dalla loro unione” (si veda la proposizione formalizzata in eqn. ?? nell’ esercizio 5).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RS’]
- E295
[0RT]Sia \(D⊆ ℝ^ 2\) numerabile; si mostri che \(ℝ^ 2⧵ D\) è connesso per archi.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RV’]
- E295
[0RY]Si trovi un esempio di uno spazio metrico \(X\) che è connesso per archi, in cui esiste un sottoinsieme \(A⊆ X\) aperto che è connesso ma non connesso per archi. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0RZ’]