7.3 Serie

Criteri

Esercizi

E228

[214](Svolto il 2022-12-13) Sia \(𝛼{\gt}0\); usate il criterio di Raabe 228 per studiare la convergenza della serie

\[ ∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^𝛼} \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’215’]

E228

[23D](Svolto il 2022-12-13) Sia \(𝛼{\gt}0\); usate il criterio di condensazione 224 per studiare la convergenza della serie

\[ ∑_{n=1}^∞ \frac{1}{n^𝛼} \]

E228

[0DW] Data una serie \(∑_ n^∞ a_ n\) dire se le condizioni successive sono necessarie e/o sufficienti per la convergenza.

\begin{eqnarray} ∀\varepsilon {\gt}0~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ~ \left|∑_{j=n}^{n+k} a_ k\right|{\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ∃ m ∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ \left|∑_{j=n}^{n+k} a_ k\right|{\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m∀ k∈{\mathbb {N}}~ ~ ∑_{j=n}^{n+k} |a_ k| {\lt}\varepsilon \\ ∀\varepsilon {\gt}0~ ∀ k∈{\mathbb {N}}~ ∃ m∈{\mathbb {N}}~ ∀ n{\gt}m ~ ∑_{j=n}^{n+k} |a_ k|{\lt}\varepsilon \end{eqnarray}

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DX’]

E228

[0DY](Proposto il 2022-12-13) Trovate due successioni \((a_ n)_ n,(b_ n)_ n\) con \(a_ n,b_ n{\gt}0\) tali che \(∑_{n=0}^∞ (-1)^ n a_ n\) è convergente, \(∑_{n=0}^∞ (-1)^ n b_ n\) è non convergente, e \(\lim _{n→∞} a_ n/b_ n=1\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0DZ’]

E228

[0F0]Note:Esame del 9 aprile 2011.Sia \((a_ n)\) una successione di numeri reali (non necessariamente positivi) tali che la serie \(∑_{n=1}^∞ a_ n\) converga ad \(a∈{\mathbb {R}}\); sia \(b_ n=\frac{a_ 1+\cdots +a_ n}{n}\); si mostri che se la serie \(∑_{n=1}^∞ b_ n\) converge allora \(a=0\).

E228

[0F2](Proposto il 2022-12) Trovare due esempi di \(a_{i,j}:{\mathbb {N}}× {\mathbb {N}}→ {\mathbb {R}}\)

• tale che, per ogni \(i\), \(∑_ j a_{i,j} =0\), mentre per ogni \(j\), \(∑_ i a_{i,j} =∞\);

• tale che, per ogni \(i\), \(∑_ j a_{i,j} =0\), mentre per ogni \(j\), \(∑_ i a_{i,j} =1\).

Riuscite a trovare esempi dove sia abbia inoltre che \(|a_{i,j}|≤ 1\) per ogni \(i,j\)? [UNACCESSIBLE UUID ’0F3’]

Si dimostri che

1. se \(∏_{n=0}^∞ a_ n\) converge allora \(\lim _{n→+∞}a_ n=1\);

2. se la serie \(∑_{n=0}^∞|a_ n-1|\) converge, allora converge anche \(∏_{n=0}^∞ a_ n\);

3. trovate un esempio in cui la serie \(∑_{n=0}^∞(a_ n-1)\) converge ma \(∏_{n=0}^∞ a_ n=0\).

[0F5]Indichiamo con \({\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) l’insieme dei sottoinsiemi \(B⊆ {\mathbb {N}}\) che sono insiemi finiti. Questo è detto l’insieme delle parti finite.

Abbreviamo \({\mathcal P}={\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) nel seguito.

Data una successione \((a_ n)_ n\) di numeri reali e un \(B∈{\mathcal P}\) indichiamo con \(s(B)=∑_{n∈ B} a_ n\) la somma finita con indici in \(B\).

Supponiamo che la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converga ma non converga assolutamente. Allora:

• \(\{ s(F ) : F ∈{\mathcal P}\} \) è denso in \({\mathbb {R}}\).

• Esiste un riordinamento \(σ\) di \({\mathbb {N}}\), cioè una funzione bigettiva \(σ:{\mathbb {N}}→{\mathbb {N}}\), tale che l’insieme delle somme parziali \(∑_{n=0}^ N a_{σ(n)}\) (al variare di \(N\)) è denso in \({\mathbb {R}}\).

[UNACCESSIBLE UUID ’0F6’] [0F7]Note:Questo risultato è attribuito a Riemann , si veda 3.54 in [ 23 ] ..

Sia data una successione \((a_ n)_ n\) di numeri reali tale che \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge (a un valore finito) ma \(∑_{n=0}^∞ |a_ n|=∞\); per ogni \(l,L\) con \(-∞ ≤ l ≤ L ≤ +∞\) esiste una permutazione \(𝜋:{\mathbb {N}}→{\mathbb {N}}\) tale che, posto \(S_ N=∑_{k=0}^ N a_{𝜋(k)}\), si ha che

[0F8]Sia data una successione \((a_ n)_{n∈ {\mathbb {N}}}\) di numeri reali positivi tale che \(\lim _{n→∞} a_ n=0\) e \(∑_{n=0}^∞ a_ n=∞\): dimostrare che per ogni \(l ∈ {\mathbb {R}}\) esiste una successione \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n, tale che

Se invece \(∑_{n=0}^∞ a_ n=S{\lt}∞\), cosa si può dire dell’insieme \(E\) delle somme \(∑_{n=0}^∞ (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n?

• Analizzate i casi in cui \(a_ n=2^{-n}\) oppure \(a_ n=3^{-n}\)

• Mostrate che \(E\) è sempre chiuso.

• Sotto quali ipotesi si ha che \(E=[-S,S]\)?

Suggerimento. Sia \(\tilde E\) l’insieme delle somme \(∑_ n (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈ \{ 0,1\} \) per ogni n; notate che \(\tilde E=\{ (S+x)/2 : x∈ E\} \). [0F9]Note:Compitino del 12 gen 2019.(Svolto il 2022-12-13) Mostrate che la seguente serie converge

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FB’] [21M](Proposto il 2022-12) Dire per quali \(𝛼{\gt}0,𝛽{\gt}0,𝛾{\gt}0\) si ha che

converge. [23F](Proposto il 2022-12-13) Note:compitino 29 Gennaio 2021.Sia \(𝛼{\gt}0\). Dite (giustificando) per quali \(𝛼\) le seguenti serie convergono o divergono

• \[ ∑_{n=1}^∞ \left({\sqrt[4]{n^ 8+n^𝛼} - n^ 2 }\right) \]
• \[ ∑_{n=2}^∞ \left( \frac{1}{n^𝛼} - \frac{1}{n^𝛼+1} \right) \]
• \[ ∑_{n=2}^∞ \frac{1}{(\log _ 2 n) ^{𝛼\log _ 2(n)}} \]

  dove i logaritmi sono in base 2.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’23G’] [20Z]Note:Compitino del 26 gen 2016. Sia

Mostrate che \(\lim _{n→∞} z_ n=0\) ma

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’213’] [210] Note:esercizio 2, compito 15 Gennaio 2014. Sia \((a_ n)_{ n ≥ 0}\) una successione di numeri reali positivi. Posto \(s_ n =∑_{i=0}^ n a_ i \) si mostri che:

• la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge se e solo se la serie \(∑_{n=0}^∞ a_{n}/s_ n\) converge;

• la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n / (s_ n)^ 2\) converge.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’21K’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0DT’] [UNACCESSIBLE UUID ’0DV’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FC’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FD’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FF’] [UNACCESSIBLE UUID ’0FG’] [UNACCESSIBLE UUID ’0DH’] Si veda anche l’esercizio 1.

Prodotto di Cauchy

E233

[0FJ]Se \(\forall n\in {\mathbb {N}}, a_ n,b_ n≥ 0\) si mostri che

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n \]

con la convenzione che \(0⋅ ∞=0\).

E233

[0FK](Proposto il 2022-12-13) Se le serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) e \(∑_{n=0}^∞ b_ n\) convergono assolutamente, si mostri che la serie \(∑_{n=0}^∞ c_ n\) converge assolutamente e

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n\quad . \]

E233

[0FM] Prerequisiti:1.Note:Noto come: Teorema di Mertens..

Se la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converge assolutamente e \(∑_{n=0}^∞ b_ n\) converge, si mostri che la serie \(∑_{n=0}^∞ c_ n\) converge e

\[ ∑_{n=0}^∞ c_ n =∑_{n=0}^∞ a_ n ∑_{n=0}^∞ b_ n\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0FN’] [UNACCESSIBLE UUID ’218’]

Si veda anche l’esercizio 1.