: Ultrametrica

10.13 Ultrametrica

[UNACCESSIBLE UUID ’0WK’]

Definizione 302

[0WM] Uno spazio ultrametrico è una spazio metrico in cui la disuguaglianza triangolare è rafforzata dalla condizione

\begin{equation} d(x,y)≤\max \{ d(x,z),d(z,y)\} ~ ~ .\label{eq:ultrametrico} \end{equation}

303

E303

[0WN]Mostrate che 303 implica che \(d\) soddisfa la diseguaglianza triangolare.

E303

[0WP]Notate che se \(d(x,y)≠ d(y,z)\) allora \(d(x,z)= \max \{ d(x,y),d(y,z)\} \). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WQ’] Intuitivamente, tutti i triangoli sono isosceli, e la base è più corta dei lati uguali.

E303

[0WR] Si mostri che, date due palle \(B(x,r)\) e \(B(y,𝜌)\) di raggio \(0{\lt}r≤ 𝜌\) che si intersecano, allora \(B(x,r)⊆ B(y,𝜌)\).

Similmente per i dischi \(D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : d(x,y)≤ r\} \) e \(D(y,r)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WS’]

E303

[0WT]Si mostri che due palle \(B(x,r)\) e \(B(y,r)\) di uguale raggio sono disgiunte oppure sono coincidenti; in particolare sono coincidenti se e solo se \(y∈ B(x,r)\). Similmente per i dischi \(D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X : d(x,y)≤ r\} \) e \(D(y,r)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WV’]

E303

[0WW] Si mostri che ogni palla aperta \(B(x,r)\) è anche chiusa. Si mostri che ogni disco chiuso \(D(x,r)\) con \(r{\gt}0\) è anche aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0WX’] Per l’esercizio 1, se ne deduce che lo spazio è totalmente disconnesso.

E303

[0WY] Sia \(𝜑:[0,∞)→ [0,∞)\) una funzione continua in zero, monotona debolmente crescente e con \(𝜑(x)=0\iff x=0\). Mostrate che \(\tilde d=𝜑◦ d\) è ancora una ultrametrica. Mostrate che gli spazi \((X,d)\) \((X,\tilde d)\) hanno la stessa topologia.

Confrontate con l’esercizio 5, notate che non richiediamo che \(𝜑\) sia subadditiva.

[UNACCESSIBLE UUID ’0WZ’]

Ultrametrica delle successioni

Costruiamo questo esempio di ultrametrica sullo spazio delle successioni.

Definizione 304

[0X0] Sia \(I\) un insieme non-vuoto, con almeno due elementi. Sia \(X=\{ f:ℕ→ I\} =I^ℕ\) lo spazio delle successioni. Siano \(x,y∈ X\). Se \(x=y\) allora poniamo \(d(x,y)=0\). ¹ Se \(x≠ y\), posto

\begin{equation} c(x,y)=\min \{ n≥ 0, x(n)≠ y(n)\} \label{eq:c_ ultrametrica_ succ} \end{equation}

305

il primo indice dove le successioni sono diverse; infine definiamo \(d(x,y)=2^{-c(x,y)}\).

Nota 306

[0X1] Per via dell’esercizio 6, potremmo equivalentemente definire \(d(x,y)=\varepsilon _{c(x,y)}\) con \(\varepsilon _ n{\gt}0\) successione decrescente infinitesima.

E306

[0X2]Prerequisiti:304.Si mostri che \(d(x,y)≤ \max \{ d(x,z),d(y,z)\} \).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0X3’]

E306

[0X4]Argomenti:completo. Prerequisiti:304.Si mostri che \((X,d)\) è completo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0X5’]

E306

[0X6]Argomenti:compatto.

Prerequisiti:304.

Si mostri che \((X,d)\) è compatto se e solo se \(I\) è un insieme finito.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0X7’]

E306

[0X8]Prerequisiti:304,2. Supponiamo che \(I\) sia un gruppo; allora \(X\) è un gruppo (è il prodotto cartesiano di gruppi); e la moltiplicazione si effettua “componente per componente”. Mostrate che il prodotto in \(X\) è un’operazione continua, e così per la mappa di inversione. Dunque \((X,d)\) è un gruppo topologico.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0X9’] [UNACCESSIBLE UUID ’0XB’]

[0XC]Prerequisiti:304,2. Sia \(I\) un insieme di cardinalità 2, allora lo spazio \((X,d)\) è omeomorfo all’insieme di Cantor (con la normale metrica Euclidea \(|x-y|\)).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0XD’]

Combinando questo risultato con 4 otteniamo che l’insieme di Cantor (con la sua usuale topologia) può essere dotato di una struttura di gruppo abeliano, dove la somma e l’inversa sono funzioni continue; ciò lo rende un gruppo topologico.

Si veda anche 2.