Esercizi
[0WG]Prerequisiti:[0WD].Vogliamo definire una distanza per lo spazio delle successioni. Procediamo come in [0W9]. Scegliamo \(X_ i=ℝ\) per ogni \(i\) e decidiamo che \(d_ i\) sia la distanza Euclidea, poi per \(f,g:ℕ→ℝ\) definiamo
\[ d(f,g) =∑_ k 2^{-k}𝜑(|f(k)-g(k)|) ~ . \]Abbiamo costruito uno spazio metrico delle successioni \((ℝ^ℕ,d)\).
Nello spazio delle successioni \((ℝ^ℕ,d)\) definiamo
\[ K=\{ f∈ℝ^ℕ, ∀ k, |f(k)|≤ 1 \} \quad . \]Si mostri che \(K\) è compatto.
Soluzione 1