9.10 Compattezza[2CB]

Il teorema di Heine-Borel [ 41 ] si estende a questo contesto.

Teorema 298

[0V3] Dato uno spazio metrico \((X,d)\) e un suo sottoinsieme \(C⊆ X\), le tre seguenti condizioni sono equivalenti.

  • \(C\) è sequenzialmente compatto: ogni successione \((x_ n)⊂ C\) possiede una sottosuccessione convergente a un elemento di \(C\).

  • \(C\) è compatto: da ogni famiglia di aperti la cui unione copre \(C\) si può scegliere un numero finito di aperti la cui unione copre \(C\).

  • \(C\) è completo, ed è totalmente limitato: per ogni \(𝜀{\gt}0\) esistono finiti punti \(x_ 1...x_ n∈ C\) tali che \(C⊆ ⋃_{i=1}^ n B(x_ i,𝜀)\).

(Questo Teorema ha una generalizzazione in spazi topologici, si veda in 5).

E298

[0V4]Posto \(X=ℝ^ n\) e \(d\) la usuale distanza Euclidea, preso \(C⊆ ℝ^ n\), usate il precedente teorema 298 per mostrare (come corollario) l’usuale teorema di Heine-Borel [ 41 ] : \(C\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V5’]

E298

[0V6] Si mostri che se \(K⊂ X\) è compatto allora è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V7’] (Si veda 2 per il caso di spazio topologico)

E298

[0V8] Siano \((X,d_ X)\) e \((Y,d_ Y)\) spazi metrici, con \((X,d_ X)\) compatto; sia \(f:X→ Y \) continua e iniettiva; si mostri che \(f\) è un omeomorfismo fra \(X\) e la sua immagine \(f(X)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V9’]

(Si veda 4 per il caso di spazio topologico).

E298

[0VB] Sia \(n≥ 1\) naturale. Siano \((X_ i,d_ i)\) spazi metrici compatti per \(i=1,\ldots n\); siano \(y_{i,k}∈ X_ i\) per \(i=1,\ldots n\) e \(k∈ℕ\). Mostrare che esiste una sottosuccessione \(k_ h\) tale che, per ogni fissato \(i\), \(y_{i,k_ h}\) converge, cioè esiste il limite \(\lim _{h→∞} y_{i,k_ h}\).

E298

[0VC] Difficoltà:**.Siano \((X_ i,d_ i)\) spazi metrici compatti per \(i∈ℕ\), e siano \(y_{i,k}∈ X_ i\) per \(i,k∈ℕ\). Mostrare che esiste una sottosuccessione \(k_ h\) tale che, per ogni fissato \(i\), \(y_{i,k_ h}\) converge, cioè esiste il limite \(\lim _{h→∞} y_{i,k_ h}\).

E298

[0VD]Sia dato uno spazio metrico \((X,d)\). Come già in 279 definiamo il disco \(D(x,\varepsilon ){\stackrel{.}{=}}\{ y∈ X, d(x,y)≤ \varepsilon \} \) (che è chiuso). Diciamo che \((X,d)\) è localmente compatto se per ogni \(x∈ X\) esiste \(\varepsilon {\gt}0\) tale che \(D(x,\varepsilon )\) è compatto. Considerate questa proposizione.

«Proposizione Uno spazio metrico localmente compatto è completo. Dimostrazione Sia \((x_ n)_ n⊂ X\) una successione di Cauchy, allora definitivamente i suoi termini distano al più \(\varepsilon \), dunque sono contenuti in una piccolo disco compatto, dunque esiste una sottosuccessione che converge, e allora per il risultato 9 tutta la successione converge. q.e.d. »

Se secondo voi la proposizione è vera, riscrivete la dimostrazione in modo rigoroso. Se secondo voi è falsa, trovate un controesempio.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VF’]

E298

[0VG] Sia \((X,d)\) uno spazio metrico, e sia \(C⊂ X\). Si mostri che \(C\) è totalmente limitato se e solo se \(\overline C\) è totalmente limitato. (Si veda 298 per la definizione di totalmente limitato). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VH’]

E298

[2GB] Prerequisiti:14.Sia \((X,d)\) uno spazio metrico totalmente limitato. Sia \(E⊆ X\), allora \(E\) è uno spazio metrico con la distanza ristretta \(\tilde d=d|_{E× E}\). Si mostri che \((E,\tilde d)\) è totalmente limitato. (Si veda 298 per la definizione di totalmente limitato).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2GC’]

E298

[0VJ] Prerequisiti:2,9.Difficoltà:*.

Sia \((X,d)\) uno spazio metrico tale che ogni funzione continua \(f:X→ℝ\) ammetta massimo: si mostri che lo spazio è compatto.

(Si veda 3 per la formulazione con \(X=ℝ^ n\).) [UNACCESSIBLE UUID ’0VK’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VM’][UNACCESSIBLE UUID ’0VN’] [0VP] Argomenti:compatti.Prerequisiti:2.

Sia \((X,d)\) uno spazio metrico, e siano \(A_ n⊆ X\) sottoinsiemi compatti non vuoti tali che \(A_{n+1}⊆ A_ n\): allora \(⋂_{n∈ℕ} A_ n≠ ∅\).

(Questo risultato si può fare derivare da 3; provate però a dare una dimostrazione diretta, usando la caratterizzazione di “compatto” come “compatto per successioni” , cioè il primo punto in 298).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VQ’] [0VR] Sia dato uno spazio metrico \((X,d)\) e un suo sottoinsieme \(C⊆ X\) totalmente limitato, come definito in 298: mostrate che \(C\) è limitato, cioè per ogni \(x_ 0∈ C\) si ha

\[ \sup _{x∈ C} d(x_ 0,x){\lt}∞\quad , \]

o equivalentemente, per ogni \(x_ 0∈ C\) esiste \(r{\gt}0\) tale che \(C⊆ B(x_ 0,r)\).

L’implicazione opposta non vale, come mostrato in 2 [0VS] Sia \((X,d)\) uno spazio metrico e sia \(D⊆ X\), si mostri che sono equivalenti:

  • \(D\) non è totalmente limitato;

  • esiste \(\varepsilon {\gt}0\) ed esiste una successione \((x_ n)_ n⊆ D\) per cui

    \[ ∀ n,m∈ℕ, ~ d(x_ n,x_ m)≥ \varepsilon \quad . \]

[0VT] Prerequisiti:9.Sia \(X=C^ 0([0,1])\) lo spazio delle funzioni continue e limitate \(f:[0,1]→ℝ\), dotato della usuale distanza

\[ d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞=\sup _{x∈[0,1]}|f(x)-g(x)|\quad . \]

Sappiamo che \((X,d_∞)\) è uno spazio metrico completo. Sia

\[ D(0,1)=\{ f∈ X: d_∞(0,f)≤ 1 \} = \{ f∈ X: ∀ x∈[0,1],\quad |f(x)|≤ 1 \} \]

il disco di centro \(0\) (la funzione identicamente zero) e raggio 1. Sappiamo da 285 che è chiuso, e dunque è completo. Mostrate che \(D\) non è totalmente limitato, trovando una successione \((f_ n)⊆ D\) come spiegato in 9.