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9.10 Compattezza[2CB]

Il teorema di Heine-Borel [ 41 ] si estende a questo contesto.

Teorema 298

[0V3] Dato uno spazio metrico $(X, d)$ e un suo sottoinsieme $C \subseteq X$ , le tre seguenti condizioni sono equivalenti.

$C$ è sequenzialmente compatto: ogni successione $(x_{n}) \subset C$ possiede una sottosuccessione convergente a un elemento di $C$ .
$C$ è compatto: da ogni famiglia di aperti la cui unione copre $C$ si può scegliere un numero finito di aperti la cui unione copre $C$ .
$C$ è completo, ed è totalmente limitato: per ogni $𝜀 > 0$ esistono finiti punti $x_{1} . . . x_{n} \in C$ tali che $C \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} B (x_{i}, 𝜀)$ .

(Questo Teorema ha una generalizzazione in spazi topologici, si veda in 5).

E298

[0V4]Posto $X = ℝ^{n}$ e $d$ la usuale distanza Euclidea, preso $C \subseteq ℝ^{n}$ , usate il precedente teorema 298 per mostrare (come corollario) l’usuale teorema di Heine-Borel [ 41 ] : $C$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V5’]

E298

[0V6] Si mostri che se $K \subset X$ è compatto allora è chiuso. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V7’] (Si veda 2 per il caso di spazio topologico)

E298

[0V8] Siano $(X, d_{X})$ e $(Y, d_{Y})$ spazi metrici, con $(X, d_{X})$ compatto; sia $f : X \to Y$ continua e iniettiva; si mostri che $f$ è un omeomorfismo fra $X$ e la sua immagine $f (X)$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V9’]

(Si veda 4 per il caso di spazio topologico).

E298

[0VB] Sia $n \geq 1$ naturale. Siano $(X_{i}, d_{i})$ spazi metrici compatti per $i = 1, \dots n$ ; siano $y_{i, k} \in X_{i}$ per $i = 1, \dots n$ e $k \in ℕ$ . Mostrare che esiste una sottosuccessione $k_{h}$ tale che, per ogni fissato $i$ , $y_{i, k_{h}}$ converge, cioè esiste il limite $lim_{h \to \infty} y_{i, k_{h}}$ .

E298

[0VC] Difficoltà:**.Siano $(X_{i}, d_{i})$ spazi metrici compatti per $i \in ℕ$ , e siano $y_{i, k} \in X_{i}$ per $i, k \in ℕ$ . Mostrare che esiste una sottosuccessione $k_{h}$ tale che, per ogni fissato $i$ , $y_{i, k_{h}}$ converge, cioè esiste il limite $lim_{h \to \infty} y_{i, k_{h}}$ .

E298

[0VD]Sia dato uno spazio metrico $(X, d)$ . Come già in 279 definiamo il disco $D (x, ε) \dot{=} {y \in X, d (x, y) \leq ε}$ (che è chiuso). Diciamo che $(X, d)$ è localmente compatto se per ogni $x \in X$ esiste $ε > 0$ tale che $D (x, ε)$ è compatto. Considerate questa proposizione.

«Proposizione Uno spazio metrico localmente compatto è completo. Dimostrazione Sia $(x_{n})_{n} \subset X$ una successione di Cauchy, allora definitivamente i suoi termini distano al più $ε$ , dunque sono contenuti in una piccolo disco compatto, dunque esiste una sottosuccessione che converge, e allora per il risultato 9 tutta la successione converge. q.e.d. »

Se secondo voi la proposizione è vera, riscrivete la dimostrazione in modo rigoroso. Se secondo voi è falsa, trovate un controesempio.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VF’]

E298

[0VG] Sia $(X, d)$ uno spazio metrico, e sia $C \subset X$ . Si mostri che $C$ è totalmente limitato se e solo se $\overset{―}{C}$ è totalmente limitato. (Si veda 298 per la definizione di totalmente limitato). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VH’]

E298

[2GB] Prerequisiti:14.Sia $(X, d)$ uno spazio metrico totalmente limitato. Sia $E \subseteq X$ , allora $E$ è uno spazio metrico con la distanza ristretta $\tilde{d} = d |_{E \times E}$ . Si mostri che $(E, \tilde{d})$ è totalmente limitato. (Si veda 298 per la definizione di totalmente limitato).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2GC’]

E298

[0VJ] Prerequisiti:2,9.Difficoltà:*.

Sia $(X, d)$ uno spazio metrico tale che ogni funzione continua $f : X \to ℝ$ ammetta massimo: si mostri che lo spazio è compatto.

(Si veda 3 per la formulazione con $X = ℝ^{n}$ .) [UNACCESSIBLE UUID ’0VK’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VM’][UNACCESSIBLE UUID ’0VN’] [0VP] Argomenti:compatti.Prerequisiti:2.

Sia $(X, d)$ uno spazio metrico, e siano $A_{n} \subseteq X$ sottoinsiemi compatti non vuoti tali che $A_{n + 1} \subseteq A_{n}$ : allora $⋂_{n \in ℕ} A_{n} \neq \emptyset$ .

(Questo risultato si può fare derivare da 3; provate però a dare una dimostrazione diretta, usando la caratterizzazione di “compatto” come “compatto per successioni” , cioè il primo punto in 298).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0VQ’] [0VR] Sia dato uno spazio metrico $(X, d)$ e un suo sottoinsieme $C \subseteq X$ totalmente limitato, come definito in 298: mostrate che $C$ è limitato, cioè per ogni $x_{0} \in C$ si ha

sup_{x \in C} d (x_{0}, x) < \infty,

o equivalentemente, per ogni $x_{0} \in C$ esiste $r > 0$ tale che $C \subseteq B (x_{0}, r)$ .

L’implicazione opposta non vale, come mostrato in 2 [0VS] Sia $(X, d)$ uno spazio metrico e sia $D \subseteq X$ , si mostri che sono equivalenti:

$D$ non è totalmente limitato;
esiste $ε > 0$ ed esiste una successione $(x_{n})_{n} \subseteq D$ per cui

$\forall n, m \in ℕ, d (x_{n}, x_{m}) \geq ε .$

[0VT] Prerequisiti:9.Sia $X = C^{0} ([0, 1])$ lo spazio delle funzioni continue e limitate $f : [0, 1] \to ℝ$ , dotato della usuale distanza

d_{\infty} (f, g) = ‖ f - g ‖_{\infty} = sup_{x \in [0, 1]} | f (x) - g (x) | .

Sappiamo che $(X, d_{\infty})$ è uno spazio metrico completo. Sia

D (0, 1) = {f \in X : d_{\infty} (0, f) \leq 1} = {f \in X : \forall x \in [0, 1], | f (x) | \leq 1}

il disco di centro $0$ (la funzione identicamente zero) e raggio 1. Sappiamo da 285 che è chiuso, e dunque è completo. Mostrate che $D$ non è totalmente limitato, trovando una successione $(f_{n}) \subseteq D$ come spiegato in 9.