Esercizi
[0VT] Prerequisiti:[0VS].Sia \(X=C^ 0([0,1])\) lo spazio delle funzioni continue e limitate \(f:[0,1]→ℝ\), dotato della usuale distanza
\[ d_∞(f,g)=\| f-g\| _∞=\sup _{x∈[0,1]}|f(x)-g(x)|\quad . \]Sappiamo che \((X,d_∞)\) è uno spazio metrico completo. Sia
\[ D(0,1)=\{ f∈ X: d_∞(0,f)≤ 1 \} = \{ f∈ X: ∀ x∈[0,1],\quad |f(x)|≤ 1 \} \]il disco di centro \(0\) (la funzione identicamente zero) e raggio 1. Sappiamo da [0PY] che è chiuso, e dunque è completo. Mostrate che \(D\) non è totalmente limitato, trovando una successione \((f_ n)⊆ D\) come spiegato in [0VS].