EDB — 0V3

[0V3] Dato uno spazio metrico $(X,d)$ e un suo sottoinsieme $C\subseteq X$, le tre seguenti condizioni sono equivalenti.

• $C$ è sequenzialmente compatto: ogni successione $(x_n)\subset C$ possiede una sottosuccessione convergente a un elemento di $C$.

• $C$ è compatto: da ogni famiglia di aperti la cui unione copre $C$ si può scegliere un numero finito di aperti la cui unione copre $C$.

• $C$ è completo, ed è totalmente limitato: per ogni $𝜀>0$ esistono finiti punti $x_1...x_n\in C$ tali che $C\subseteq {\bigcup }_{i=1}^{n}B(x_i,𝜀)$.