12.3 Convergenza totale[2CJ]
[116]Sia nel seguito \(X\) uno spazio vettoriale basato sul campo reale \({\mathbb {R}}\), con norma \(\| \cdot \| \). Sia \( (f_ n)_{n\in {\mathbb {N}}}\) una successione di elementi di \(X\). Si dice che la serie \(∑^∞_{n=0}f_ n\) converge totalmente quando \(∑^∞_{n=0}\| f_ n\| {\lt}∞\).
- E338
[117]Si mostri che se le serie di \((f_ n)_ n,(g_ n)_ n\) convergono totalmente, allora la serie di \((f_ n+g_ n)_ n\) converge totalmente.
- E338
[118] Argomenti:convergenza totale.Prerequisiti:9,10,11.
Sia \(V\) uno spazio vettoriale dotato di una norma \(\| x\| \); dunque \(V\) è anche uno spazio metrico con la metrica \(d(x,y)=\| x-y\| \). Mostrate che le due asserzioni seguenti sono equivalenti.
\((V,d)\) è completo.
Per ogni successione \((v_ n)_ n⊂ V \) tale che \(∑_ n\| v_ n\| {\lt}∞\), si ha che la serie \(∑_ n v_ n \) converge.
(La seconda viene a volte chiamata “criterio di convergenza totale”)
Uno spazio vettoriale normato \((V,|\cdot \| )\) per cui lo spazio metrico associato \((V,d)\) è completo, è detto spazio di Banach.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’119’]