12.2 Isometrie[2CH]

Riscriviamo la definizione 297 nel caso di spazi normati.

Definizione 334

[110]Se \(M_ 1\), \(M_ 2\) sono spazi vettoriali con norme \(\| \| _{M_ 1}\) e rispettivamente \(\| \| _{M_ 2}\), allora \(𝜑\) è un isometria quando

\begin{equation} ∀ x,y∈ M_ 1, \| x-y\| _{M_ 1}=\| 𝜑(x)-𝜑(y)\| _{M_ 2} \label{eq:isometria_ su_ normati} \end{equation}
335

(riscrivendo la definizione di distanza usando le norme).

La confronteremo con questa definizione.

Definizione 336

[111] Siano \(B_ 1, B_ 2\) due spazi vettoriali normati. Una funzione \(f: B_ 1 → B_ 2\) è un’isometria lineare se è lineare e se

\begin{equation} \left\| z \right\| _{B_ 1} = \left\| f (z) \right\| _{B_ 2} ∀ \ z ∈ B_ 1~ ~ .\label{eq:isometria_ lineare} \end{equation}
337

Se \(𝜑\) è lineare allora la definizione di equazione ?? è equivalente alla definizione di isometria lineare vista in equazion ?? (basta porre \(z=x-y\)). Questo spiega perché entrambi vengono chiamate “isometrie”.

Per il teorema di Mazur–Ulam [ 58 ] se \(M_ 1, M_ 2\) sono spazi vettoriali (su campo reale) dotati di norma e \(𝜑\) è una isometria surgettiva, allora \(𝜑\) è affine (che vuol dire che \(x↦ 𝜑(x)-𝜑(0)\) è lineare).

Ci chiediamo ora se vi possono essere isometrie che non sono mappe lineari, o più in generale mappe affini.

E337

[112]Supponiamo che la sfera \(\{ x∈ M_ 2,\| x\| _{M_ 2}=1\} \) non contenga segmenti non-banali: allora ogni funzione che soddisfa ?? è necessariamente affine.

(Si veda anche l’esercizio 3).

E337

[114]La condizione che \(𝜑\) sia surgettiva non si può togliere dal Teorema di Mazur-Ulam. Trovate un esempio.

Sugg. Per via dell’esercizio 1, la sfera \(\{ x∈ M_ 2,\| x\| _{M_ 2}=1\} \) dovrà contenere segmenti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’115’]