: Isometrie<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/2CH/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[2CH]</small></span></a>

11.2 Isometrie[2CH]

Riscriviamo la definizione 296 nel caso di spazi normati.

Definizione 333

[110]Se $M_{1}$ , $M_{2}$ sono spazi vettoriali con norme $‖ ‖_{M_{1}}$ e rispettivamente $‖ ‖_{M_{2}}$ , allora $𝜑$ è un isometria quando

\forall x, y \in M_{1}, ‖ x - y ‖_{M_{1}} = ‖ 𝜑 (x) - 𝜑 (y) ‖_{M_{2}}

334

(riscrivendo la definizione di distanza usando le norme).

La confronteremo con questa definizione.

Definizione 335

[111] Siano $B_{1}, B_{2}$ due spazi vettoriali normati. Una funzione $f : B_{1} \to B_{2}$ è un’isometria lineare se è lineare e se

{‖ z ‖}_{B_{1}} = {‖ f (z) ‖}_{B_{2}} \forall z \in B_{1} .

336

Se $𝜑$ è lineare allora la definizione di equazione ?? è equivalente alla definizione di isometria lineare vista in equazion ?? (basta porre $z = x - y$ ). Questo spiega perché entrambi vengono chiamate “isometrie”.

Per il teorema di Mazur–Ulam [ 58 ] se $M_{1}, M_{2}$ sono spazi vettoriali (su campo reale) dotati di norma e $𝜑$ è una isometria surgettiva, allora $𝜑$ è affine (che vuol dire che $x \mapsto 𝜑 (x) - 𝜑 (0)$ è lineare).

Ci chiediamo ora se vi possono essere isometrie che non sono mappe lineari, o più in generale mappe affini.

E336

[112]Supponiamo che la sfera ${x \in M_{2}, ‖ x ‖_{M_{2}} = 1}$ non contenga segmenti non-banali: allora ogni funzione che soddisfa ?? è necessariamente affine.

(Si veda anche l’esercizio 3).

E336

[114]La condizione che $𝜑$ sia surgettiva non si può togliere dal Teorema di Mazur-Ulam. Trovate un esempio.

Sugg. Per via dell’esercizio 1, la sfera ${x \in M_{2}, ‖ x ‖_{M_{2}} = 1}$ dovrà contenere segmenti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’115’]