10.9 Isometrie[2C9]

Definizione 297

[0TK] Dati \((M_ 1,d_ 1)\) e \((M_ 2,d_ 2)\) spazi metrici, una mappa \(𝜑:M_ 1→ M_ 2\) è detta una isometria se

\begin{equation} ∀ x,y∈ M_ 1, ~ ~ d_ 1(x,y)=d_ 2(𝜑(x),𝜑(y))~ ~ .\label{eq:isometria} \end{equation}
298

Vedremo in Sez. 12.2 la stessa definizione nel caso di spazi vettoriali normati. Ovviamente una isometria è Lipschitziana, e dunque continua. Le isometrie godono di alcune proprietà.

E298

[0TM]Argomenti:isometria. Una isometria è sempre iniettiva.

[UNACCESSIBLE UUID ’0TN’]

[0TP]Se l’isometria \(𝜑\) è surgettiva (e dunque è bigettiva) allora anche la inversa \(𝜑^{-1}\) è una isometria. [0TQ]Se \((M_ 1,d_ 1)\) è completo allora la sua immagine \(𝜑(M_ 1)\) è un insieme completo in \(M_ 2\); e dunque è un chiuso in \(M_ 2\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0TR’] Conseguentemente se la isometria \(𝜑\) è bigettiva e uno dei due spazi è completo allora anche l’altro è completo.

[UNACCESSIBLE UUID ’0TS’] [0TT]Argomenti:isometria. Difficoltà:*.Siano \((X,d)\) spazio metrico compatto; sia \(T:X→ X\) una isometria, allora \(T\) è surgettiva.

Date un semplice esempio di spazio metrico non compatto e di \(T:X→ X\) isometria non surgettiva.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0TV’] [0TW]Argomenti:isometria.Prerequisiti:1.Difficoltà:*.

Siano \((X,d)\) e \((Y,𝛿)\) due spazi metrici di cui \(X\) compatto, \(T:X→ Y\) e \(S:Y→ X\) due isometrie. Provare che allora \(T\) ed \(S\) sono bigettive.

[UNACCESSIBLE UUID ’0TX’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0TY’] [0TZ]Argomenti:isometria.Difficoltà:*. Trovate un esempio di due spazi metrici \((X,d)\) e \((Y,𝛿)\) che non sono isometrici ma per cui esistono due isometrie \(T:X→ Y\) e \(S:Y→ X\).

[UNACCESSIBLE UUID ’0V0’]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0V1’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0V2’]