11 Dimensione[0YH]

Sia \((X,d)\) uno spazio metrico. Sia nel seguito \(K\) un sottoinsieme di \(X\), compatto nonvuoto, e sia \(N(𝜌)\) il minimo numero di palle di raggio \(𝜌\) che sono necessarie per coprire \(K\).  1

Definizione 315

[0YJ]Se esiste il limite

\begin{equation} \lim _{𝜌→ 0+}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)}\label{eq:dim_ K} \end{equation}
316

diremo che questo limite è la dimensione di Minkowski \(\dim (K)\) di \(K\).

Se il limite non esiste, potremo comunque usare il limsup e il liminf per definire la dimensione superiore e inferiore.

Si noti che questa definizione dipende a priori dalla scelta della distanza, cioè \(N=N(𝜌,K,d)\) e \(\dim =\dim (K,d)\). Si veda in particolare 317.

E316

[0YK]Mostrate che \(N(𝜌)\) è decrescente in \(𝜌\). [UNACCESSIBLE UUID ’0YM’]

[0YN] Prerequisiti: 4.Difficoltà:*.Mostrate che \(N(𝜌)\) è limitato se e solo se \(K\) contiene solo un numero finito di punti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YP’] Dunque se \(K\) è infinito si deve avere \(\lim _{𝜌→ 0+}N(𝜌)=∞\). [0YQ] Sia definito \(N'(𝜌)\) essere il minimo numero di palle di raggio \(𝜌\) e centrate in \(K\) che sono necessarie per coprire \(K\): allora

\[ N'(2𝜌)≤ N(𝜌)≤ N'(𝜌)~ . \]

Dunque la dimensione non cambia se si richiede che le palle siano centrate in punti di \(K\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YR’] [0YS] Sia \(P(𝜌)\) il numero numero massimo di palle di raggio \(𝜌\) e centrate in \(K\) che sono disgiunte. Si mostri che

\[ N(2𝜌)≤ P(𝜌) ≤ N(𝜌/2)~ . \]

Dunque la dimensione si può calcolare anche come

\begin{equation} \lim _{𝜌→ 0+}\frac{\log P(𝜌)}{\log (1/𝜌)}~ .\label{eq:dim_ K_ packing} \end{equation}
317

Una tale costruzione è nota come ball packing in Inglese. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YT’] [0YV] Nell’esercizio 1 è importante richiedere che le palle siano centrate in punti di \(K\). Trovate un esempio di spazio metrico \((X,d)\) e di \(K⊆ X\) compatto di dimensione finita, ma tale che per ogni \(n∈ℕ\) e ogni \(𝜌{\gt}0\), esistono infinite palle disgiunte ciascuna contenente un solo punto di \(K\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YW’] [0YX] Mostrare che la dimensione non cambia se si usano i dischi

\[ D(x,r){\stackrel{.}{=}}\{ y~ ,~ d(x,y)≤ r\} \]

invece delle palle \(B(x,r)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YY’] [0YZ] Prerequisiti:5.Sia \(K⊆ X\) compatto; sia \(𝛼{\gt}1\); sia \(\tilde d(x,y)=\sqrt[𝛼]{d(x,y)}\), sappiamo da 5 che è una distanza. Mostrate che

\[ 𝛼 \dim (K,d)= \dim (K,\tilde d)~ ~ . \]

In particolare \(K=[0,1]\) (l’intervallo \(K⊆ X=ℝ\)) con la distanza \(\tilde d(x,y)=\sqrt[𝛼]{|x-y|}\) ha dimensione \(𝛼\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Z0’] [0Z1] Argomenti:norma.Prerequisiti:325.

Sia \(K\) un compatto in \(ℝ^ n\); indichiamo con \(\dim (K,|⋅|)\) il limite che definisce la dimensione, usando le palle della norma Euclidea. Data una norma \(𝜙\) possiamo definire la distanza \(d(x,y)=𝜙(x-y)\), e con questo calcolare la dimensione \(\dim (K,𝜙)\). Si mostri che \(\dim (K,|⋅|)=\dim (K,𝜙)\), nel senso che, se un limite esiste allora esiste anche l’altro limite, e sono uguali. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Z2’] [0Z3] Indichiamo un criterio operativo che può essere usato negli esercizi seguenti.

  • Se esiste una successione descrescente \(𝜌_ j→ 0\) e \(h_ j\) interi positivi tale che bastano \(h_ j\) palle di raggio \(𝜌_ j\) per coprire \(K\), allora

    \begin{equation} \limsup _{𝜌→ 0+}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)} ≤ \limsup _{j→ ∞}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/𝜌_ j)}~ ~ .\label{eq:dimens_ sup_ per_ copertura} \end{equation}
    318

  • Se viceversa esiste una successione descrescente \(r_ j→ 0\), e \(C_ n⊆ K\) famiglie finite di punti che distano almeno \(r_ j\) fra loro, cioè per cui

    \begin{equation} ∀ x,y∈ C_ n,x≠ y ⇒ d(x,y)≥ r_ j~ ,\label{eq:punti_ sparpagliati} \end{equation}
    319

    allora 

    \begin{equation} \liminf _{𝜌→ 0+}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)} ≥ \liminf _{j→ ∞}\frac{\log l_ j}{\log (1/r_{j+1})}~ ~ . \label{eq:dimens_ inf_ per_ sparpagl} \end{equation}
    320

    dove \(l_ j=|C_ j|\) è la cardinalità di \(C_ j\). Si noti che i punti di \(x∈ C_ j\) sono centri di palle \(B(x,r_ j/2)\) disgiunte, dunque \(l_ j≤ P(r_ j/2)\), come definito in 1.

In particolare se

\begin{equation} \limsup _{j→ ∞}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/𝜌_{j})}=\liminf _{j→ ∞}\frac{\log l_{j}}{\log (1/r_{j+1})}=𝛽\label{eq:dimens_ per_ sup_ inf} \end{equation}
321

allora l’insieme \(K\) ha dimensione \(𝛽\).

[UNACCESSIBLE UUID ’0Z4’] Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Z5’][UNACCESSIBLE UUID ’0Z6’] [0Z7]Prerequisiti: 333 317 317.Difficoltà:*.Sia \(K⊆ ℝ^ m\) compatto. Consideriamo la famiglia dei cubi chiusi di lato \(2^{-n}\) e centri nei punti della griglia \(2^{-n}ℤ^ m\). La chiamiamo “n-tassellatura”. Sia \(N_ n\) il numero di cubi della n-tassellatura che intersecano \(K\). Mostrate che \(N_ n\) è debolmente crescente. Mostrate che il seguente limite esiste

\begin{equation} \lim _{n→ ∞}\frac{\log _ 2 N_ n}{n}\label{eq:dim_ K_ box} \end{equation}
322

se e solo se esiste il limite ?? che definisce la dimensione, e se esistono coincidono. Questo approccio al calcolo della dimensione viene chiamato Box Dimension in Inglese.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Z8’][UNACCESSIBLE UUID ’0Z9’]

Queste quantità hanno una interpretazione nella teoria “rate-distortion”. “\(n\)” è la posizione dell’ultima cifra significativa (in base 2) nel determinare la posizione di un punto \(x\). “\(\log _ 2 N_ n\)” è il numero di “bit” necessari per identificare un qualunque \(x∈ K\) con tale precisione. [0ZB]Sia \(a_ n\) una successione positiva decrescente infinitesima. Sia \(K⊆ ℝ\) dato da

\[ K=\{ 0\} ∪\{ a_ n : n∈ℕ, n≥ 1\} ~ ; \]

notate che è compatto. Studiate la dimensione di \(K\) in questi casi:

  • \(a_ n=n^{-𝜃}\) con \(𝜃{\gt}0\);

  • \(a_ n=𝜃^{-n}\) con \(𝜃{\gt}1\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ZC’] [0ZD]Siano \(1≤ d≤ n\) interi. Sia \([0,1]^ d\) un cubo di dimensione \(d\), lo vediamo come un sottoinsieme di \(ℝ^ n\) ponendo

\[ K = [0,1]^ d × \{ (0,0\ldots 0)\} \]

cioè

\[ K = \{ x∈ℝ^ n, 0≤ x_ 1≤ 1, \ldots 0≤ x_ d≤ 1, x_{d+1} = \ldots = x_ n = 0\} \]

Si mostri che la dimensione di \(K\) è \(d\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ZF’] [0ZG] Si mostri che la dimensione della (immagine della) curva frattale di Koch è \(\log 4/\log 3\). (Si veda ad esempio [ 54 ] per la definizione).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ZH’] [0ZJ]Si mostri che la dimensione dell’insieme di Cantor è \(\log (2)/\log (3)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ZK’] [0ZM]Prerequisiti:349,2.Dentro nello spazio di Banach \(X=C^ 0([0,a])\) dotato della norma \(‖⋅ ‖_∞\) consideriamo

\[ K=\{ f , f(0)=0, ∀ x,y, |f(x)-f(y)|≤ L|x-y|\} \]

dove \(L{\gt}0,a{\gt}0\) sono fissati.

Si stimi \(N(𝜌)\) per \(𝜌→ 0\) [UNACCESSIBLE UUID ’0ZN’] [0ZP]Argomenti:ultrametrica.Prerequisiti:304.

Sia \(𝜆{\gt}0\). Definiamo lo spazio ultrametrico delle successioni come in Sez. ??: sia \(I\) finito, di cardinalità \(p\); sia \(X=I^ℕ\) lo spazio delle successioni; sia \(c\) come in eqn. ??; sia \(d(x,y)=𝜆^{-c(x,y)}\). Per gli esercizi 3 e 306 \((X,d)\) è compatto.

Si mostri che la dimensione di \((X,d)\) è \(\log p/\log 𝜆\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0ZQ’] [0ZR]Difficoltà:*.Esibite un compatto \(K⊂ ℝ\) per cui non esiste il limite ??.

[UNACCESSIBLE UUID ’0ZS’]

  1. Per il teorema di Heine-Borel 299 sappiamo che \(N(𝜌){\lt}∞\)