EDB — 0Z3

Esercizi

1. [0Z3] Indichiamo un criterio operativo che può essere usato negli esercizi seguenti.

   • Se esiste una successione descrescente ${𝜌}_j\to 0$ e $h_j$ interi positivi tale che bastano $h_j$ palle di raggio ${𝜌}_j$ per coprire $K$, allora

     $$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{𝜌\to 0+}{lim sup}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)}\le \underset{j\to \infty }{lim sup}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/{𝜌}_j)}.\end{array}$$

     4

   • Se viceversa esiste una successione descrescente $r_j\to 0$, e $C_n\subseteq K$ famiglie finite di punti che distano almeno $r_j$ fra loro, cioè per cui

     $$\begin{array}{}\text{(2)}& \forall x,y\in C_n,x\ne y\Rightarrow d(x,y)\ge r_j,\end{array}$$

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     allora 

     $$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{𝜌\to 0+}{lim inf}\frac{\log N(𝜌)}{\log (1/𝜌)}\ge \underset{j\to \infty }{lim inf}\frac{\log l_j}{\log (1/r_{j+1})}.\end{array}$$

     6

     dove $l_j=|C_j|$ è la cardinalità di $C_j$. Si noti che i punti di $x\in C_j$ sono centri di palle $B(x,r_j/2)$ disgiunte, dunque $l_j\le P(r_j/2)$, come definito in [0YS]↺↻.

   In particolare se

   $$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{j\to \infty }{lim sup}\frac{\log h_{j+1}}{\log (1/{𝜌}_j)}=\underset{j\to \infty }{lim inf}\frac{\log l_j}{\log (1/r_{j+1})}=𝛽\end{array}$$

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   allora l’insieme $K$ ha dimensione $𝛽$.

   [ [0Z4]↺↻]

   Soluzione 1

   [0Z5]↺↻