13.3 Trasformata di sup[2CR]
[2CS]Sia \(I=ℝ^+\) oppure \(I=ℝ\) nel seguito, per semplicità.
Sia \(\varepsilon {\gt}0\); data \(f:I→ℝ\) limitata 1 , definiamo la “trasformata sup” come la funzione \(g:I→ℝ\) data da
Riassumiamo questa trasformazione con la notazione \(g=F(\varepsilon ,f)\).
- E350
- E350
[146]Prerequisiti:349.Mostrate che \(g\) è semicontinua inferiore.
- E350
[147]Prerequisiti:349.Mostrate che \(f=g\) se e solo se \(f\) è monotona debolmente decrescente e continua a destra.
- E350
-
\[ g(x)= \begin{cases} -1 & x=4\\ 0 & x≠ 4 \end{cases} \]
trovate \(f\) tale che \(g=F(1,f)\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’149’]
- E350
[14B]Prerequisiti:349.Mostrate che se \(f\) è continua allora \(g\) è continua.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14C’]
- E350
[14D]Prerequisiti:349,2.Sia \(C_ b=C_ b(I)\) lo spazio delle funzioni \(f:I:\to {\mathbb {R}})\) continue e limitate. Questo è uno spazio di Banach (uno spazio normato completo) con la norma \(\| f\| _∞=\sup _ x |f(x)|\).
Consideriamo la mappa \(F:[0,∞)× C_ b→ C_ b\) che trasforma \(g=F(\varepsilon ,f)\), come definito nella eqn. ??.
Mostrate che \(F\) è continua.
- E350
[14F]Prerequisiti:349.Come cambiano i precedenti esercizi se si definisce invece
\begin{equation} \label{eq:trasf_ sup_ aperto} g(x)=\sup _{y∈ [x,x+\varepsilon ]} f(y)~ ~ ? \end{equation}353Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14G’]