14.1 Funzioni continue [2DP]

Ulteriori informazioni si possono trovare in Cap. 3 in [ 5 ] o Cap. 4 of [ 23 ] .

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[14K]Sia \(f:(0,1]→ℝ\) una funzione continua. Si mostri che è limitata dall’alto ¹ se e solo se \(\limsup _{x→ 0+}f(x){\lt}+∞\).

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[14M]Prerequisiti:2.Sia \(f:ℝ→ℝ\) una funzione limitata. Si mostri che l’insieme dei punti di discontinuità eliminabile (cioè i punti \(z\) per cui si ha \(\lim _{x→ z} f(x) ≠ f(z)\), cf. [ 61 ] ) è al più numerabile.

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[14N]Prerequisiti:2.Sia \(f:ℝ→ℝ\) una funzione limitata. Si mostri che l’insieme di punti di discontinuità del secondo tipo è al più numerabile (cioè i punti \(z\) dove esistono i limiti laterali ma \(\lim _{x→ z+} f(x) ≠ \lim _{x→ z-} f(x)\), cf. [ 61 ] ).

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[21N]Prerequisiti:3.Fissato \(𝛼 {\gt}1\) definiamo, per \(x∈ℝ\), \(𝛼^ x\) come in 3. Mostrate che è una funzione continua e che è un omeomorfismo fra \(ℝ\) e \((0,∞)\). L’inversa di \(y=𝛼^ x\) è la funzione logaritmo \(x=\log _𝛼 y\).

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[14P]Prerequisiti:4.Difficoltà:*.

Sia \(C⊂ℝ\) chiuso e sia \(f:C→ ℝ\) continua; mostrate che esiste sempre \(g:ℝ →ℝ\) continua che estende \(f\), cioè \(g_{|_ C}=f\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14Q’]

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[14R]Difficoltà:**.Trovate una funzione continua \(f:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}\) che non è monotona in nessun intervallo (aperto nonvuoto). [UNACCESSIBLE UUID ’14S’]

Data \(f=f(x,y):ℝ×[0,1]→ℝ\) continua e posto

mostrare che \(g\) è continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14V’] [14W] Data \(f=f(x,y):ℝ×[0,1]→ℝ\) continua e posto

mostrare che \(g\) è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14X’] [14Y] Siano \(x_ n,y_ n\) successioni reali strettamente positive con limite zero; esiste una funzione continua e monotona \(f:[0,∞)→ [0,∞)\) tale che \(f(0)=0\) e \(∀ x{\gt}0, f(x){\gt}0\), e tale che \(∀ n, f(x_ n){\lt}y_ n\) (da cui \(\lim _{x→ 0+}f(x)=0\)).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14Z’] [150] Sia data una funzione \(g:[0,∞)→ [0,∞]\) tale che \(g(0)=0\) e \(\lim _{x→ 0+}g(x)=0\); allora esiste una funzione continua e monotona \(f:[0,∞)→ [0,∞]\) tale che \(f(0)=0\), \(\lim _{x→ 0+}f(x)=0\) e \(f≥ g\). [151]Dimostrare che se una funzione monotona è definita su un sottoinsieme denso di un intervallo aperto \(I\), e ha immagine densa in un altro intervallo aperto \(J\), allora si prolunga a una funzione continua monotona tra i due intervalli \(I,J\) aperti.

(Cosa succede se \(I\) è chiuso ma \(J\) è aperto?) [152]Prerequisiti:categorie di Baire Sec. 10.11.Difficoltà:*.

Si mostri che non esiste una funzione \(f:ℝ→ℝ\) che è continua sui razionali e discontinua sugli irrazionali. (Sugg. Si mostri che gli irrazionali \(ℝ⧵ℚ\) non sono un \(F_𝜎\) in \(ℝ\), usando il teorema di Baire.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’153’]

[UNACCESSIBLE UUID ’154’]