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13.1 Funzioni continue [2DP]

Definizione 353

[2DN] Sia $A \subseteq ℝ$ e $f : A \to ℝ$ una funzione; sia $x \in A$ ; $f$ è detta continua in $x$ se

\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall y \in A, | x - y | < 𝛿 ⟹ | f (x) - f (y) | < ε .

$f$ è detta continua se è continua in ogni punto.

L’insieme di tutte le funzioni continue $f : A \to ℝ$ è denotato con $C (A)$ ; è uno spazio vettoriale.

Ulteriori informazioni si possono trovare in Cap. 3 in [ 5 ] o Cap. 4 of [ 23 ] .

E353

[14K]Sia $f : (0, 1] \to ℝ$ una funzione continua. Si mostri che è limitata dall’alto ¹ se e solo se $\underset{x \to 0 +}{lim sup} f (x) < + \infty$ .

E353

[14M]Prerequisiti:2.Sia $f : ℝ \to ℝ$ una funzione limitata. Si mostri che l’insieme dei punti di discontinuità eliminabile (cioè i punti $z$ per cui si ha $lim_{x \to z} f (x) \neq f (z)$ , cf. [ 61 ] ) è al più numerabile.

E353

[14N]Prerequisiti:2.Sia $f : ℝ \to ℝ$ una funzione limitata. Si mostri che l’insieme di punti di discontinuità del secondo tipo è al più numerabile (cioè i punti $z$ dove esistono i limiti laterali ma $lim_{x \to z +} f (x) \neq lim_{x \to z -} f (x)$ , cf. [ 61 ] ).

E353

[21N]Prerequisiti:3.Fissato $𝛼 > 1$ definiamo, per $x \in ℝ$ , $𝛼^{x}$ come in 3. Mostrate che è una funzione continua e che è un omeomorfismo fra $ℝ$ e $(0, \infty)$ . L’inversa di $y = 𝛼^{x}$ è la funzione logaritmo $x = \log_{𝛼} y$ .

E353

[14P]Prerequisiti:4.Difficoltà:*.

Sia $C \subset ℝ$ chiuso e sia $f : C \to ℝ$ continua; mostrate che esiste sempre $g : ℝ \to ℝ$ continua che estende $f$ , cioè $g_{|_{C}} = f$ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14Q’]

E353

[14R]Difficoltà:**.Trovate una funzione continua $f : R \to R$ che non è monotona in nessun intervallo (aperto nonvuoto). [UNACCESSIBLE UUID ’14S’]

[14T] Prerequisiti:integrale di Riemann.

Data $f = f (x, y) : ℝ \times [0, 1] \to ℝ$ continua e posto

g (x) = \int_{0}^{1} f (x, y) d y,

mostrare che $g$ è continua.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14V’] [14W] Data $f = f (x, y) : ℝ \times [0, 1] \to ℝ$ continua e posto

g (x) = max_{y \in [0, 1]} f (x, y)

mostrare che $g$ è continua. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14X’] [14Y] Siano $x_{n}, y_{n}$ successioni reali strettamente positive con limite zero; esiste una funzione continua e monotona $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ tale che $f (0) = 0$ e $\forall x > 0, f (x) > 0$ , e tale che $\forall n, f (x_{n}) < y_{n}$ (da cui $lim_{x \to 0 +} f (x) = 0$ ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’14Z’] [150] Sia data una funzione $g : [0, \infty) \to [0, \infty]$ tale che $g (0) = 0$ e $lim_{x \to 0 +} g (x) = 0$ ; allora esiste una funzione continua e monotona $f : [0, \infty) \to [0, \infty]$ tale che $f (0) = 0$ , $lim_{x \to 0 +} f (x) = 0$ e $f \geq g$ . [151]Dimostrare che se una funzione monotona è definita su un sottoinsieme denso di un intervallo aperto $I$ , e ha immagine densa in un altro intervallo aperto $J$ , allora si prolunga a una funzione continua monotona tra i due intervalli $I, J$ aperti.

(Cosa succede se $I$ è chiuso ma $J$ è aperto?) [152]Prerequisiti:categorie di Baire Sec. 9.11.Difficoltà:*.

Si mostri che non esiste una funzione $f : ℝ \to ℝ$ che è continua sui razionali e discontinua sugli irrazionali. (Sugg. Si mostri che gli irrazionali $ℝ ⧵ ℚ$ non sono un $F_{𝜎}$ in $ℝ$ , usando il teorema di Baire.)

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’153’]

[UNACCESSIBLE UUID ’154’]