10.6 Topologia nella retta reale[2C6]
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[0S0] Mostrate che un insieme \(A⊆ℝ\) è un intervallo se e solo è convesso, se e solo se è connesso.
(Parte della dimostrazione si trova nel Teorema 5.11.3 in [ 3 ] ).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S1’]
(Notate come in questo caso gli esercizi 1 e 8 vadano a coincidere).
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[0S2] Sia \(𝛼∈ℝ\), consideriamo l’insieme \(A\) dei numeri della forma \(𝛼 n + m\) con \(n,m\) interi. Si mostri che \(A\) è denso in \(ℝ\) se e solo se \(𝛼\) è irrazionale. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S3’]
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[0S4]Dato \(I⊆ ℚ\) non-vuoto, mostrate che \(I\) è connesso se e solo \(I\) contiene un solo punto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S5’]
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[0S6] Mostrare che ogni \(A⊂ℝ\) non-vuoto aperto è unione di una famiglia al più numerabile di intervalli aperti disgiunti. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S7’]
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[0S8] Trovare un compatto \(A⊂ ℝ\) che abbia un numero numerabile di punti di accumulazione. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0S9’]
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[0SB]Prerequisiti:2. Mostrare che l’insieme \(A⊂ ℝ\) definito come
\[ A=\{ 0\} ∪ \{ 1/n : n∈ℕ, n≥ 1\} ∪ \{ 1/n+1/m : n,m∈ℕ, n≥ 1, m≥ 1\} \]è compatto; identificare i suoi punti di accumulazione.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SC’]
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[0SD] Difficoltà:**. Sia \(A⊂ℝ\); ricordiamo che \(D(A)\) è il derivato di \(A\) (cioè l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\)). Descrivere un insieme chiuso \(A\) tale che gli insiemi
\[ A, D(A),D(D(A)),D(D(D(A)))\ldots \]Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SF’]
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[0SG]Prerequisiti:10, 13, 7, 286.Difficoltà:**.
Trovare un sottoinsieme A di \(ℝ\) tale che i seguenti 7 sottoinsiemi di \(ℝ\) risultino tutti distinti:
\[ A,~ ~ \overline A,~ ~ {{A}^\circ } ,~ ~ {{\left(\overline A\right)}^\circ },~ ~ \overline{\left({{A}^\circ }\right)} ,~ ~ \overline{\left({{\left(\overline A\right)}^\circ }\right)},~ ~ {{\left(\overline{\left({{A}^\circ }\right)}\right)}^\circ } ~ ~ . \]Dimostrare inoltre che non se ne possono creare altri proseguendo nella stessa maniera (anche sostituendo \(ℝ\) con un generico spazio metrico).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0SH’]
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[0W6]Difficoltà:**.Si provi che non è possibile ottenere \(ℝ\), o un intervallo \(D ⊆ ℝ\), come unione numerabile di intervalli chiusi e limitati, a due a due disgiunti.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0W7’] [UNACCESSIBLE UUID ’0W8’]