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2.4 Ordinamenti[1YY]

Sia \((X,≤)\) un insieme non vuoto e ordinato (cf definizione 48)

Definizione 52

[229]Dati \(x,y∈ X\) ricordiamo che \(x{\lt}y\) significa \(x≤ y∧ x≠ y\).

Quando si ha che \(x≤ y\) oppure \(y≤ x\) diremo che i due elementi sono “comparabili”. Viceversa se non si ha ne \(x≤ y\) ne \(y≤ x\) diremo che i due elementi sono “incomparabili”.
Un elemento \(m∈ X\) si dice massimale se non esiste alcun elemento \(z∈ X\) tale che \(m{\lt}z\).
Un elemento \(m∈ X\) si dice minimale se non esiste alcun elemento \(z∈ X\) tale che \(z{\lt}m\).
Un elemento \(m∈ X\) si dice massimo se, per ogni elemento \(z∈ X\), si ha \(z\le m\).
Un elemento \(m∈ X\) si dice minimo se, per ogni elemento \(z∈ X\), si ha \(m\le z\).

Invertendo la relazione d’ordine, le definizioni di minimo/minimale divengono le definizioni di massimo/massimale (e viceversa).

E52

[1WJ]Dato un insieme ordinato, mostrate che il massimo, se esiste, è unico.

E52

[067] (Svolto il 2022-10-13) Mostrate che per ogni due \(x,y∈ X\) si ha uno di questi casi mutualmente esclusivi

\(x=y\),
\(x{\lt}y\),
\(x{\gt}y\),
\(x,y\) sono incomparabili.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’068’]

E52

[29D]Mostrate che se \(x{\lt}y \land y\le z\) oppure \(x\le y \land y{\lt} z\) allora \(x{\lt}z\).

E52

[069]Mostrate che \(m∈ X\) è massimale se e solo se ”per ogni \(z∈ X\) si ha che \(z≤ m\) oppure \(z,m\) sono incomparabili”.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’06B’]

E52

[1WM]Sia \(f:A→ B\) una funzione, sia \(⪯\) una relazione d’ordine su \(B\); consideriamo la relazione \(R\) fra elementi di \(A\) data da

\[ xRy\iff f(x)⪯ f(y)\quad ; \]

è una relazione d’ordine? E se assumiamo inoltre che \(f\) sia iniettiva?

E52

[1WN] Mostrare che se ogni sottoinsieme non-vuoto ammette minimo, allora l’ordinamento è totale.

E52

[1YJ] Consideriamo \(A=ℝ^ 2\) e consideriamo la relazione

\[ (x,y)⪯ (x',y') \iff ( x≤ x'∧ y≤ y') \]

mostrate che è una relazione di ordine; è parziale o totale?
Preso \(B=\{ (x,y):x^ 2+y^ 2 ≤ 1\} \), consideriamolo come insieme ordinato con l’ordinamento \(⪯\) : vi sono massimi? minimi? massimali? minimali?

E52

[06C](Proposto il 2022-12) Sia \((X,≤)\) un insieme non vuoto finito e ordinato allora ammette massimali e minimali. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’06D’]

E52

[06F]Si costruisca un ordinamento \(⪯\) su \(ℕ\) con questa proprietà: per ogni \(n∈ℕ\)

l’insieme \(\{ k∈ℕ , k≠ n,k⪯ n\} \) degli elementi che precedono \(n\) ha esattamente due massimali,
l’insieme \(\{ k∈ℕ , k≠ n,n⪯ k\} \) degli elementi che seguono \(n\) ha esattamente due minimali.

E52

[06J](Proposto il 2022-12) Sia \(X\) insieme non vuoto e \(R⊆ X^ 2\) una relazione d’ordine, allora esiste una relazione di ordine totale \(T\) che estende \(R\) (cioè \(R⊆ T\), considerando le relazioni come sottoinsiemi di \(X^ 2\)).

E52

[263] Prerequisiti:133,1.(Svolto il 2022-10-13) Sia \(X\) ordinato (parzialmente). Mostrate che sono equivalenti

in ogni sottoinsieme \(A\subseteq X\) non-vuoto esiste almeno un elemento minimale;
non esistono funzioni \(f:ℕ→ X\) strettamente decrescenti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’07Y’]

Si veda anche la Proposizione 82.

[UNACCESSIBLE UUID ’06K’] [UNACCESSIBLE UUID ’1YZ’]

Ordinamento diretto e filtrante[2FJ]

Definizione 53

[06M] (Svolto il 2022-11-24) Sia \((X,≤)\) un insieme (parzialmente) ordinato, diremo che è filtrante ¹ se

\begin{equation} \label{eq:filtrante} ∀ x,y∈ X ~ ∃ z∈ X,~ x< z∧ y< z\quad . \end{equation}

Gli insiemi \(ℝ,ℕ,ℚ,ℤ\) con i loro usuali ordinamenti sono filtranti.

Definizione 55

[06N] Un insieme diretto è un insieme (parzialmente) ordinato \((X,≤)\) per cui

\begin{equation} \label{eq:ord_ diretto} ∀ x,y∈ X ~ ∃ z∈ X,~ x≤ z∧ y≤ z\quad . \end{equation}

Ovviamente un ordinamento filtrante è anche diretto.

Nota 57

[0NB]Abbiamo aggiunto la proprietà antisimmetrica alla usuale definizione di "Insieme Diretto", si veda [ 15 ] (o altre referenze in [ 34 ] ).

Questa scelta semplifica il trattamento (in particolare, ci permette di usare concetti già visti per insiemi ordinati, quali massimo o massimale) e allo stesso tempo, per quanto spiegato in 235, non cambia l’utilità della teoria sviluppata in questa sezione e in Sezione 6.4.

Definizione 58

[06P] Dato un insieme diretto \((X,≤_ X)\) un suo sottoinsieme \(Y⊆ X\) si dice cofinale se

\begin{equation} \label{eq:cofinale} ∀ x∈ X ~ ∃ y∈ Y,~ y≥_ X x \end{equation}

Più in generale, un altro insieme diretto \((Z,≤_ Z)\) si dice cofinale in \(X\) se esiste una mappa \(i : Z→ X\) monotona debolmente crescente tale che \(i(Z)\) è cofinale in \(X\), cioè

\begin{equation} \label{eq:cofinale_ Z,X} ( ∀ z_ 1,z_ 2∈ Z, z_ 1≤_ Z z_ 2⇒ i(z_ 1)≤_ X i(z_ 2) ) ~ ~ ∧~ ~ (∀ x∈ X ~ ∃ z∈ Z,~ i(z)≥_ X x) \end{equation}

(Questo secondo caso generalizza il precedente, decidendo che \(i:Y→ X\) è l’identità e \(≤_ Y\) è la restrizione di \(≤_ X\) a \(Y\).)

Definizione 61

[231] Se \(X\) è filtrante, “un intorno di \(∞\) in \(X\)” è un sottoinsieme \(U⊆ X\) tale che

\[ ∃ k∈ X ∀ j∈ X,j≥ k ⇒ j∈ U~ . \]

E61

[06Q] (Proposto il 2022-11) Sia \((X,\le )\) un insieme ordinato filtrante, si mostri che è un insieme infinito. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’06R’]

E61

[06S] (Svolto il 2022-10-27) Sia \((X,≤)\) un insieme diretto: si mostri che se esiste un elemento massimale in \(X\) allora è il massimo. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’06T’]

E61

[06V] Prerequisiti:53,2.(Svolto il 2022-11-24) Sia \((X,≤)\) un insieme diretto. Si mostri che sono equivalenti queste proprietà:

\((X,≤)\) soddisfa la proprietà filtrante 54,
\((X,≤)\) non ha massimo,
\((X,≤)\) non ha massimali.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’06W’]

E61

[06X]Prerequisiti:58.Sia \((X,≤)\) un insieme diretto, sia \(Y⊆ X\) cofinale: si mostri che \((Y,{≤}_{|{Y}})\) è un insieme diretto.

Similmente se \((X,≤)\) è filtrante, si mostri che \((Y,{≤}_{|{Y}})\) è filtrante.

E61

[232]Prerequisiti:61.Dati \(U_ 1,U_ 2⊆ J\) due intorni di \(∞\) si mostri che l’intersezione \(U_ 1∩ U_ 2\) è un intorno di \(∞\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’236’] .

E61

[234]Prerequisiti:58,61.Se \((X,≤)\) un insieme filtrante, \(Y⊆ X\) è cofinale, e \(U⊆ X\) è un intorno di \(∞\) in \(X\), si mostri che \(U∩ Y\) è un intorno di \(∞\) in \(Y\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’235’]

Un insieme diretto \((X,≤)\) è un ambiente a cui si può facilmente generalizzare la nozione già vista 159.

Definizione 62

[06Y] (Svolto il 2022-10-27) Sia P(x) una proposizione logica che dipende da una variabile libera \(x∈ X\). Diremo che

P(x) vale definitivamente per \(x∈ X\) se	\(∃ y∈ X, ∀ x∈ X,x≥ y\) vale P(x) ;
P(x) vale frequentemente per \(x∈ X\) se	\(∀ y ∈ X, ∃ x∈ X, x≥ y\) per cui P(x) .

E62

[070] (Proposto il 2022-10-27) La proprietà 3 si riformula in questo modo.

Mostrate che «P(x) vale frequentemente in \(x∈ X\)» se e solo se l’insieme

\[ Y=\{ x∈ X: P(x)\} \]

è cofinale in \(X\).

E62

[233]Prerequisiti:62,5.Mostrate che «P(x) vale definitivamente in \(x∈ X\)» se e solo se l’insieme

\[ U=\{ x∈ X: P(x)\} \]

è un intorno di \(∞\) in \(X\).

E62

[06Z]Si verifichi per esercizio che le proprietà 1, 2, 4 e 5 viste in Sez. 3.7 valgono anche in questo caso 62 più generale.

E62

[2B2]Supponiamo che l’insieme \(X\) abbia associato una relazione \(R\) che sia riflessiva e transitiva e per cui

\begin{equation} \label{eq:ord_ diretto_ R} ∀ x,y∈ X ~ ∃ z∈ X,~ xRz, yR z\quad . \end{equation}

(come visto in ??)

Questa coppia \((X,R)\) è un "Insieme Diretto" secondo la definizione usuale (cfr. [ 15 ] o altre referenze in [ 34 ] ).

Mostrate che esiste un’altra relazione \(≤\) tale che

\(≤\) è un ordine parziale che soddisfa ??;
\(R\) estende \(≤\) cioè

\[ ∀ x,y∈ X ~ x≤ y⇒~ x R y\quad ; \]
inoltre \((X,≤)\) è cofinale in \((X,R)\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2GM’]

Altri esercizi sull’argomento sono 174,8, e in Sezione 6.4.

Ordinamento lessicografico[2FH]

Definizione 64

[071] Dati due insiemi ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), posto \(Z=X× Y\), definiamo l’ordinamento lessicografico \(≤_ Z\) su \(Z\) come segue; siano \(z_ 1=⦗x_ 1,y_ 1⦘\in Z\) e \(z_ 2=⦗x_ 2,y_ 2⦘\in Z\), allora:

nel caso \(x_ 1≠ x_ 2\) , allora \(z_ 1≤_ Z z_ 2\) se e solo se \(x_ 1≤_ X x_ 2\);
nel caso \(x_ 1= x_ 2\) , allora \(z_ 1≤_ Z z_ 2\) se e solo se \(y_ 1≤_ Y y_ 2\).

Questo si estende al prodotto di più insiemi: dati due vettori, si considerano i primi elementi, se sono diversi si usa il primo ordinamento, se sono uguali si passa ai secondi elementi, ecc.

E64: [1WP]Si verifichi che \(\le _ Z\) è un ordinamento.
E64: [072] Se \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\) sono ordinamenti totali, si mostri che \((Z,≤_ Z)\) è un ordinamento totale.
E64: [073] Se \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\) sono buoni ordinamenti, si mostri che \((Z,≤_ Z)\) è un buon ordinamento.
E64: [074] Sia \(X=ℕ^ℕ\) ordinato con l’ordinamento lessicografico. Si costruisca una funzione \(f:X→ℝ\) strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’075’]
E64: [076]Consideriamo \(X=ℝ× \{ 0,1\} \) ordinato con l’ordinamento lessicografico. Si mostri che non esiste una funzione \(f:X→ℝ\) strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’077’]

Ordinamento totale, sup e inf[2FM]

Sia \(≤\) un ordinamento totale su \(X\) insieme non vuoto.

Definizione 65

[22R] Sia \(A⊆ X\). I maggioranti di \(A\) sono

\[ M_ A{\stackrel{.}{=}}\{ x∈ X:∀ a∈ A, a≤ x\} \quad . \]

Un insieme \(A\) è superiormente limitato quando esiste un \(x∈ X\) tale che \(∀ a∈ A, a≤ x\), cioè esattamente quando \(M_ A≠∅\).

Se \(M_ A\) ha minimo \(s\), \(s\) è l’estremo superiore di \(A\), e scriveremo \(s=\sup A\).

Invertendo la relazione d’ordine, otteniamo le definizione maggioranti, inferiormente limitato, estremo inferiore.

Lemma 66

[22S]Sia \(A⊆ X\) non vuoto. Ricordiamo queste proprietà dell’estremo superiore.

Se \(A\) ha massimo \(m\) allora \(m=\sup A\).
Sia \(s∈ X\). Si ha \(s=\sup A\) se e solo se
- per ogni \(x∈ A\) si ha \(x≤ s\).
- per ogni \(x∈ X\) con \(x{\lt}s\) esiste \(y∈ A\) con \(x{\lt} y\).

Quest’ultima proprietà è di larghissimo uso nell’analisi!

La dimostrazione è lasciata come (utile) esercizio. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’22T’]

E66

[078] (Proposto il 2022-10-13) Sia \(B\) un insieme non vuoto che è limitato dal basso, sia \(L\) l’insieme dei minoranti di \(B\); notiamo che \(L\) è superiormente limitato, e supponiamo che esista \(𝛼=\sup L\): allora \(𝛼∈ L\) e \(𝛼=\inf B\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’079’]

E66

[07B]Prerequisiti:1.(Proposto il 2022-10-13) Mostrate che se per l’ordinamento totale di \(X\) esistono i“sup” allora esistono anche gli “inf”; e viceversa. Precisamente, mostrate che sono equivalenti:

Ogni insieme non vuoto inferiormente limitato in \(X\) ammette estremo inferiore;
ogni insieme non vuoto superiormente limitato in \(X\) ammette estremo superiore.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’207’]

Ordinamento totale, intervalli[2DW]

Sia \(≤\) un ordinamento totale su \(X\) insieme non vuoto.

Definizione 67

[07C] Un insieme \(I⊆ X\) è un intervallo se per ogni \(x,z∈ I\) e ogni \(y∈ X\) con \(x{\lt}y{\lt}z\) si ha \(y∈ I\).

Notate che l’insieme vuoto è un intervallo.

Definizione 68

[07D] Dati \(x,z∈ X\) si definiscono i seguenti intervalli standard

\[ \begin{aligned} (x,z)& =& \{ y∈ X: x{\lt}y{\lt}z \} \\ {} (x,z]& =& \{ y∈ X: x{\lt}y≤ z \} \\ {} (x,∞)& =& \{ y∈ X: x{\lt}y \} \\ {} [x,z)& =& \{ y∈ X: x≤ y{\lt}z \} \\ {} [x,z]& =& \{ y∈ X: x≤ y≤ z \} \\ {} [x,∞)& =& \{ y∈ X: x≤ y \} \\ {} (-∞,z)& =& \{ y∈ X: y{\lt} z \} \\ {} (-∞,z]& =& \{ y∈ X: y≤ z \} \\ {} (-∞,∞)& =& X~ ~ . \end{aligned} \]

[24Y]Notate che vi sono 9 casi, combinazioni di tre per l’estremo destro e tre per l’estremo sinistro. Intendiamo che \(∞,-∞\) sono simboli e non elementi di \(X\); per questo motivo se \(X\) ha massimo \(m\), allora gli intervalli si scrivono preferibilmente come \((x,∞)=(x,m]\) e \([x,∞)=[x,m]\); similmente se ha un minimo.

E68

[07F] Prerequisiti:67,68,3.

Sia \(\mathcal F\) una famiglia non vuota di intervalli.

Mostrate che la intersezione \(\underline⋂{\mathcal F}\) di tutti gli intervalli è un intervallo.

Supponiamo che l’intersezione \(\underline⋂{\mathcal F}\) sia non vuota, mostrate che la unione \(\underline⋃{\mathcal F}\) è un intervallo.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’07G’]

E68

[07H] Prerequisiti:67,68.(Svolto il 2022-10-13)

Si trovi un esempio di insieme \(X\) con ordinamento totale, in cui vi è un intervallo \(I\) che non ricade in nessuna delle categorie viste in 68.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’07J’]

E68

[07K] Prerequisiti:67,68,1.(Proposto il 2022-10-13)

Sia \(A⊆ X\) un insieme non vuoto; sia \(I\) il più piccolo intervallo che contiene \(A\); questo è definito come l’intersezione di tutti gli intervalli che contengono \(A\) (e l’intersezione è un intervallo, per 1). Sia \(M_ A\) la famiglia dei maggioranti di \(A\), \(M_ I\) di \(I\); si mostri che \(M_ A=M_ I\). In particolare \(A\) è superiormente limitato se e solo \(I\) è superiormente limitato; se inoltre \(A\) ha estremo superiore, si avrà \(\sup A=\sup I\). (Similmente per minoranti e estremi inferiori). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’07M’]

E68

[07N] Prerequisiti:67,68,1,3.

Sia \(X\) un insieme totalmente ordinato. Mostrate che le due seguenti sono equivalenti.

Ogni \(A⊆ X\) non vuoto limitato dall’alto e dal basso ammette estremo superiore e inferiore.
Ogni intervallo \(I⊆ X\) non vuoto ricade in una delle categorie viste in 68.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’07P’]

E68

[206]Prerequisiti:67,68,1.Difficoltà:*.

All’inizio della sezione abbiamo assunto che l’ordinamento \(≤\) su \(X\) sia totale. Le definizioni di intervallo in 67 e in 68 si possono però dare anche per un ordinamento che non sia (necessariamente) totale. Cosa succede nell’esercizio 1 quando l’ordinamento non è totale? Quale risultato è vero, quale è falso, e nel caso che controesempio possiamo dare?

[UNACCESSIBLE UUID ’07Q’]

Tipi di ordine

Definizione 69

[07V]Dati due insiemi non vuoti ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), diremo che “hanno lo stesso tipo d’ordine”, o più brevemente che sono “equiordinati” ² , se esiste una funzione bigettiva monotona strettamente crescente \(f:X→ Y\), la cui inversa \(f^{-1}\) è strettamente crescente. La funzione \(f\) è detta “isomorfismo d’ordine”, o “isotonia”.

Nota 70

[21R]Notate che se \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\) sono equiordinati allora \(X\) e \(Y\) sono equipotenti; però dato un insieme infinito \(X\), esistono su di esso ordinamenti di diverso tipo — anche se consideriamo solo i buoni ordinamenti. (Si veda ad esempio l’esercizio 1)

Nota 71

[21V]Notate che, se due insiemi sono equiordinati, allora godono delle stesse proprietà: se uno è totalmente ordinato, lo è anche l’altro; se uno è bene ordinato, lo è anche l’altro; etc etc.... Si veda 2.

E71

[220]Mostrate che la relazione "avere lo stesso tipo d’ordine" è una relazione d’equivalenza. Dato un insieme \(X\), consideriamo tutti i possibili ordinamenti su \(X\), la relazione definisce dunque classi di equivalenza, e ogni classe è (per l’appunto) un “tipo d’ordine” su \(X\).

E71

[22P](Proposto il 2023-01-17) Dati due insiemi non vuoti ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), sia \(f:X→ Y\) come da definizione 69.

Se \(A⊆ X\) e \(m=\max A\) allora \(f(m)=\max f(A)\); similmente per i minimi;
\((X,≤_ X)\) è totalmente ordinato se e solo se \((Y,≤_ Y)\) lo è;
\((X,≤_ X)\) è bene ordinato se e solo se \((Y,≤_ Y)\) lo è.
Supponiamo che \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\) siano bene ordinati; siano \(S_ X\) e rispettivamente \(S_ Y\) le funzioni “successore” 104, allora si ha che \(x\) non è il massimo di \(X\) se e solo se \(f(x)\) non è il massimo di \(Y\), e in questo caso \(y=S_ X(x)\) se e solo se \(f(y) = S_ Y(f(x))\).

E71

[21P]Dati due insiemi non vuoti totalmente ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), supponiamo che esista una funzione bigettiva monotona strettamente crescente \(f:X→ Y\): si mostri che allora la sua inversa \(f^{-1}\) è strettamente crescente, e conseguentemente \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\) sono equiordinati. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’21T’]

E71

[21Q]Trovate un semplice esempio di due insiemi non vuoti (parzialmente) ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), per cui esiste una funzione bigettiva monotona strettamente crescente \(f:X→ Y\), la cui inversa \(f^{-1}\) non è strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’21S’]

Concatenazione

Definizione 72

[21W]Dati due insiemi ordinati \((X,≤_ X)\) e \((Y,≤_ Y)\), con \(X,Y\) disgiunti, la concatenazione di \(X\) con \(Y\) si ottiene definendo \(Z=X∪ Y\) e dotandolo dell’ordinamento \(≤_ Z\) dato da:

se \(z_ 1,z_ 2∈ X\) allora \(z_ 1≤_ Z z_ 2\) se e solo se \(z_ 1≤_ X z_ 2\);
se \(z_ 1,z_ 2∈ Y\) allora \(z_ 1≤_ Z z_ 2\) se e solo se \(z_ 1≤_ Y z_ 2\);
se \(z_ 1∈ X\) e \(z_ 2∈ Y\) allora si ha sempre \(z_ 1≤_ Z z_ 2\).

Questa operazione è alle volte indicata con la notazione \(Z = X⧺ Y\).

Se gli insiemi non sono disgiunti, possiamo sostituirli con insiemi disgiunti definiti da \(\tilde X=\{ 0\} × X\) e \(\tilde Y=\{ 1\} × Y\), poi potremo "ricopiare" i rispettivi ordinamenti, e infine potremo eseguire la concatenazione di \(\tilde X\) e \(\tilde Y\).

E72: [21X]Sia \(k∈ℕ\) e sia \(I=\{ 0,\ldots ,k\} \) con l’usuale ordinamento di \(ℕ\): si mostri che la concatenazione di \(I\) con \(ℕ\) ha lo stesso tipo d’ordine di \(ℕ\); mentre invece la concatenazione di \(ℕ\) con \(I\) non ha lo stesso tipo d’ordine.
E72: [21Y]Prerequisiti:64,69.Siano \((X_ 1,≤_ 1)\), \((X_ 2,≤_ 2)\) due insiemi disgiunti e ordinati (parzialmente) e con lo stesso tipo d’ordine. Sia \(I=\{ 1,2\} \) con l’usuale ordinamento; sia \(Z=I× X_ 1\) dotato dell’ordinamento lessicografico; sia \(W\) la concatenazione di di \(X_ 1\) con \(X_ 2\): mostrate che \(Z\) e \(W\) hanno lo stesso tipo d’ordine. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’221’]
E72: [21Z]Siano \(X_ 1,X_ 2\) due insiemi disgiunti e bene ordinati. Sia \(W\) la concatenazione di di \(X_ 1\) con \(X_ 2\): mostrate che è bene ordinato.