7.4 Successioni generalizzate, o “reti”[29X]
[21J]Sia nel seguito \((J,≤)\) un insieme ordinato con la proprietà filtrante
Una funzione \(f:J→X\) viene chiamata rete.
Questa \(f\) è una generalizzazione del concetto di successione; infatti l’insieme \(J=ℕ\) con il suo usuale ordinamento ha la proprietà filtrante
In questa sezione ci concentriamo sul caso \(X=ℝ\).
[0FR] Prerequisiti:3, 62, Sez. ??.
Dato \(J\) insieme ordinato (parzialmente) e filtrante, e data \(f:J→ℝ\), vogliamo definire il concetto di limite di \(f(j)\) “per \(j→∞\)”. 1 .
Diremo che
\[ \lim _{j∈ J}f(j)=l∈ ℝ \]se
\[ ∀ \varepsilon {\gt}0 \, ∃ k∈ J \, ∀ j∈ J, \, j≥ k ⇒ |l-f(j)|{\lt}\varepsilon \quad . \]Similmente si definiscono i casi \(l=±∞\) (imitando le definizioni usate quando \(J=ℕ\).) (Questa è la definizione negli appunti del corso, cap. 4 sez. 2 in [ 3 ] )
Equivalentemente possiamo dire che
\[ \lim _{j∈ J}f(j)=l∈ \overlineℝ \]se per ogni intorno \(U\) di \(l\) si ha che \(f(j)∈ U\) definitivamente per \(j∈ J\); dove definitivamente è stato definito in 62.
Ricordiamo da 61 che “un intorno di \(∞\) in \(J\)” è un sottoinsieme \(U⊆ J\) tale che \(∃ k∈ J ∀ j∈ J , j≥ k ⇒ j∈ U\). Allora possiamo imitare la definizione 189.
Data \(l∈\overline{ℝ}\) si ha \(\lim _{j∈ J}f(j)=l\) quando per ogni intorno \(V\) “pieno” di \(l\) in \(ℝ\), esiste intorno \(U\) di \(∞\) in \(J\) tale che \(f(U)⊆ V\).
In particolare questa ultima definizione si può usare per definire i limiti di \(f:J→ E\) dove \(E\) è uno spazio topologico.
[230]Presa \((a_ n)_{n\in {\mathbb {N}}}\) una successione reale, \((a_{n_ k})_{k\in {\mathbb {N}}}\) è una sottosuccessione quando \(n_ k\) è una successione strettamente crescente di numeri naturali.
Similmente presa \(f:J\to {\mathbb {R}}\), sia \(H\subseteq J\) un sottoinsieme cofinale (come definito in 58): sappiamo da 4 che \(H\) è filtrante. Allora la restrizione \(h={f}_{|{H}}\) è una rete \(h:H\to {\mathbb {R}}\), ed è detta “una sottorete di \(f\)”.
Più in generale, supponiamo che \((H,\le _ H)\) sia cofinale in \((J,\le )\) per mezzo di una mappa \(i:H\to J\); ricordiamo che questo significa (adattando ??) che
allora \(h=f \circ i\) è una sottorete.
- E239
- E239
[0FS] Prerequisiti:237,234,5.Mostrate che se esiste il limite \(\lim _{j∈ J}f(j)\) allora è unico.
- E239
[0FT]Supponiamo che \(f\) sia monotona, mostrate che \(\lim _{j∈ J} f(j)\) esiste (possibilmente infinito) e coincide con \(\sup _ J f\) (se è crescente) o con \(\inf _ J f\) (se è decrescente).
Deducete che
\begin{eqnarray*} \limsup _{j∈ J}f(j){\stackrel{.}{=}}\lim _{j∈ J} \sup _{k≥ j} f(k)\\ \liminf _{j∈ J}f(j){\stackrel{.}{=}}\lim _{j∈ J} \inf _{k≥ j} f(k) \end{eqnarray*}sono sempre ben definiti.
- E239
[0FV]Mostrate che esiste il limite \(\lim _{j∈ J}f(j)=ℓ∈\overlineℝ\) se e solo se
\[ \limsup _{j∈ J}f(j)=\liminf _{j∈ J}f(j)=ℓ~ . \]- E239
[22Y] Prerequisiti:53,4,237,234,6.Supponiamo che \(H⊆ J\) sia cofinale e sia \(h={f}_{|{H}}\) la sottorete (come definito in 238);
Supponiamo che \(\lim _{j∈ J}f(j)=l∈ \overlineℝ\) si mostri che \(\lim _{j∈ H}h(j)=l\).
Simimente se \((H,\le _ H)\) è cofinale in \((J,\le )\) per mezzo di una mappa \(i:H\to J\), e , e \(h=f \circ i\).
[237]Supponiamo che l’insieme \(J\) sia diretto ma non filtrante; allora per 3 esso ammette un elemento massimo che chiamiamo \(\infty \); le precedenti definizioni e proprietà si possono dare anche in questo caso, ma sono banali, in quanto si dimostra che