6.4 Limiti[29N]
Scriveremo \(\overline{ℝ}\) per \(ℝ∪\{ ±∞\} \).
[20D]Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione, \(l∈\overline{ℝ}\).
L’idea di limite (destro o sinistro o bilaterale) è così espressa.
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\(\lim _{x→ x_ 0} f(x) = l\) |
per ogni intorno \(V\) “pieno” di \(l\), esiste intorno \(U\) “bucato” di \(x_ 0\) tale che per ogni \(x∈ U∩ I\), si ha \(f(x)∈ V\) |
dove l’intorno \(U\) sarà destro o sinistro se il limite è destro o sinistro; si può anche dire che
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\(\lim _{x→ x_ 0} f(x) = l\) |
per ogni intorno \(V\) “pieno” di \(l\), si ha \(f(x)∈ V\) definitivamente per \(x\) tendente a \(x_ 0\) |
aggiungendo che \(x{\gt}x_ 0\) se il limite è destro, oppure \(x{\lt}x_ 0\) se il limite è sinistro.
[0BH] Sia \(I\) un insieme, \(x_ 0∈ℝ\) punto di accumulazione per \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione, \(l∈ℝ\).
Mettendo insieme tutte le definizioni viste precedentemente, otteniamo queste definizioni di limite.
Nel caso \(x_ 0∈ℝ\) e \(l∈ℝ\):
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\(\lim _{x→ x_ 0} f(x) = l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒|f(x)-l|{\lt}\varepsilon \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^+} f(x) = l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒|f(x)-l|{\lt}\varepsilon \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^-} f(x) = l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒|f(x)-l|{\lt}\varepsilon \) |
Sia \(x_ 0∈ℝ\), \(l=±∞\).
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\(\lim _{x→ x_ 0} f(x) = ∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0} f(x) = -∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^+} f(x) = ∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^+} f(x) = -∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^-} f(x) = ∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\lim _{x→ x_ 0^-} f(x) = -∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
Sia \(l∈ℝ\), \(x_ 0=±∞\).
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\(\lim _{x→ ∞} f(x) = l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\gt}y, x∈ I⇒|f(x)-l|{\lt}\varepsilon \) |
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\(\lim _{x→ -∞} f(x) = l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\lt}y, x∈ I⇒|f(x)-l|{\lt}\varepsilon \) |
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\(\lim _{x→ ∞} f(x) = ∞\) |
\(∀ z, ∃ y, ∀ x, x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}z\) |
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\(\lim _{x→ -∞} f(x) = ∞\) |
\(∀ z, ∃ y, ∀ x, x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}z\) |
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\(\lim _{x→ ∞} f(x) = -∞\) |
\(∀ z, ∃ y, ∀ x, x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}z\) |
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\(\lim _{x→ -∞} f(x) = -∞\) |
\(∀ z, ∃ y, ∀ x, x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}z\) |
[0BJ]Si noti che se si sostituisce \(f↦ -f\), si passa dalle definizioni con \(l=∞\) a quelle del \(l=-∞\) (e viceversa). Un’altra simmetria si ottiene scambiando \(x_ 0 → -x_ 0\) e gli intorni destri e sinistri.