: Ulteriori proprietà e esercizi

14.4 Ulteriori proprietà e esercizi

E368

[191]Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso, $f : C \to ℝ$ una funzione convessa e $g : ℝ \to ℝ$ una funzione convessa e monotona debolmente crescente: si provi che $f ◦ g$ è convessa.

E368

[192] Sia $f : [0, \infty) \to ℝ$ concava, tale che $f (0) = 0$ e $f$ continua in zero.

Si provi che $f$ è subadditiva, cioè

$f (t) + f (s) \geq f (t + s)$

per ogni $t, s \geq 0$ . Se inoltre $f$ è strettamente concava e $t > 0$ allora

$f (t) + f (s) > f (t + s) .$
Si provi che se $\forall x, f (x) \geq 0$ allora $f$ è debolmente crescente.
Il viceversa? Trovate un esempio di $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ con $f (0) = 0$ , continua, monotona crescente e subadditiva, ma non concava.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’193’]

E368

[194] Si mostri la disuguaglianza di Young: dati $a, b > 0$ , $p, q > 1$ tali che $1 / p + 1 / q = 1$ allora

a b \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

369

con uguaglianza se e solo se $a^{p} = b^{q}$ ; usando la concavità del logaritmo.

Si veda anche 3. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’195’]

E368

[196] Sia $𝛼 \in (0, 1)$ , si mostri che $x^{𝛼}$ è $𝛼$ -Hölderiana (possibilmente usando i risultati precedenti). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’197’]

Si veda anche l’esercizio 375.

Funzione distanza

E369

[198] Argomenti:funzione distanza, insiemi convessi. Prerequisiti:1,1.Sia $A \subset ℝ^{n}$ chiuso nonvuoto, sia $d_{A}$ la funzione distanza definita nell’ esercizio 1, cioè $d_{A} (x) = inf_{y \in A} | x - y |$ . Si mostri che $A$ è un’insieme convesso se e solo se $d_{A}$ è una funzione convessa.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’199’]

E369

[19B] Argomenti:funzione distanza, insiemi convessi. Prerequisiti:1,1.

Dato $A \subset ℝ^{n}$ convesso chiuso, si definisce la funzione distanza $d_{A} (x)$ come sopra in 1; sia $z \notin A$ e $x^{*}$ la proiezione di $z$ su $A$ (cioè il punto di minima distanza nella definizione di $d_{A} (z)$ ); posto $v = (z - x^{*}) / | z - x^{*} |$ si mostri che $v \in \partial f (z)$ ; dove $\partial f$ è il sottodifferenziale definito in 5.

Funzioni e insiemi strettamente convessi

E369: [19C] Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso, $f : C \to ℝ$ una funzione convessa e $r \in ℝ$ : allora ${x \in C, f (x) < r}$ e ${x \in C, f (x) \leq r}$ sono insiemi convessi (eventualmente vuoti).

Nota 370

[23N]È vero anche il viceversa: dato $A \subset ℝ^{n}$ un convesso chiuso, esiste sempre una funzione convessa $f : ℝ^{n} \to ℝ$ tale che $A = {x : f (x) \leq 0}$ : ad esempio si può usare $f = d_{A}$ , come visto in2 nella sezione precedente.

Ci si chiede ora, cosa accade se $f$ è strettamente convessa?

Definizione 371

[19D] Un insieme $A \subset R^{n}$ convesso chiuso è detto strettamente convesso se, per ogni $x, y \in A$ con $x \neq y$ e ogni $t \in (0, 1)$ si ha

(t x + (1 - t) y) \in A^{\circ} .

(Notate che un insieme strettamente convesso necessariamente ha parte interna non vuota).

Nota 372

[19F] Dagli esercizi 4 e 5 segue che se $x \in A^{\circ}$ o $y \in A^{\circ}$ allora $(t x + (1 - t) y) \in A^{\circ}$ : dunque la definizione è “interessante” quando $x, y \in \partial A$ .

E372: [19G] Prerequisiti:4.Sia $f : R^{n} \to R$ una funzione strettamente convessa e $r \in R$ allora $A = {x, f (x) \leq r}$ è un insieme chiuso e strettamente convesso (eventualmente vuoto). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’19H’]

[UNACCESSIBLE UUID ’19J’]