: Funzione convessa

14.2 Funzione convessa

Definizione 366

[17Y]Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso, e $f : C \to ℝ$ una funzione. $f$ si dice convessa se

\forall t \in [0, 1], \forall x, y \in C, f (t x + (1 - t) y) \leq t f (x) + (1 - t) f (y) .

$f$ si dice strettamente convessa se inoltre

\forall t \in (0, 1), \forall x, y \in C, x \neq y, f (t x + (1 - t) y) < t f (x) + (1 - t) f (y) .

Definizione 367

[17Z] $f$ si dice (strettamente) concava se $- f$ è (strettamente) convessa.

Le funzioni convesse godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.

...definizioni equivalenti

E367

[180]Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso. Sia $f : C \to ℝ$ convessa; siano $x_{1}, \dots, x_{n} \in C$ e $t_{1}, \dots, t_{n} \in [0, 1]$ tali che $\sum_{i = 1}^{n} t_{i} = 1$ . Si mostri che

\sum_{i = 1}^{n} t_{i} x_{i} \in C

f (\sum_{i = 1}^{n} t_{i} x_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} t_{i} f (x_{i}) .

E367

[181] Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso. Sia $f : C \to ℝ$ , si mostri che è convessa, se e solo se l’epigrafico

{(x, y) | x \in C, f (x) \leq y}

è un sottoinsieme convesso di $C \times ℝ$ .

Proprietà

Questa che segue è una lista di proprietà per funzioni convesse $f : C \to ℝ$ con $C \subseteq ℝ^{n}$ . Ovviamente queste proprietà valgono anche quando $n = 1$ ; ma quando $n = 1$ le dimostrazioni sono in genere più facili, si veda la sezione successiva.

E367

[182]Sia $C \subseteq ℝ^{n}$ un convesso, e $f : C \to ℝ$ una funzione convessa. Dato $l \in R$ , si definisca l’insieme di sottolivello come

L_{l} = {x \in ℝ^{n} : f (x) \leq l} .

Mostrate che $L_{l}$ è un insieme convesso (possibilmente vuoto). Deducete che i punti di minimo di $f$ sono un insieme convesso (possibilmente vuoto). Mostrate che se $f$ è strettamente convessa vi può essere al più un punto di minimo.

E367

[183] Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso; siano $f_{i} : C \to ℝ$ convesse, dove $i \in I$ (una famiglia non vuota, e arbitraria, di indici), e definiamo $f (x) = sup_{i \in I} f_{i} (x)$ , dove supponiamo (per semplicità) che $f (x) < \infty$ per ogni $i$ : si mostri che $f$ è convessa.

E367

[184] Prerequisiti:2,7.Difficoltà:*.Sia $C \subseteq ℝ^{n}$ un convesso, sia $f : C \to ℝ$ una funzione convessa, sia fissato $z \in C^{\circ}$ : si mostri che esiste $v \in ℝ^{n}$ tale che

\forall x \in C, f (x) \geq f (z) + ⟨ v, x - z ⟩ .

368

Il piano così definito è detto piano di supporto per $f$ in $z$ . Note:È preferibile non assumere che $f$ sia continua nel dimostrare questo risultato, in quanto questo risultato si usa in genere per dimostrare che $f$ è continua!.Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’185’]

E367

[186] Prerequisiti:326,324,3.Difficoltà:*.

Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso aperto, e $f : C \to ℝ$ una funzione convessa, si mostri che $f$ è continua.
Note:Nel caso di dimensione $n = 1$ , la dimostrazione è molto più facile, si veda 1.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’187’]

E367

[188] Argomenti:sottodifferenziale.Prerequisiti:3.Difficoltà:*.

Sia $C \subseteq ℝ^{n}$ un convesso aperto, e $f : C \to ℝ$ una funzione convessa; dato $z \in C$ , si definisce il sottodifferenziale $\partial f (z)$ come l’insieme dei $v$ per cui la relazione ?? vale (cioè, $\partial f (z)$ contiene i vettori $v$ usati per definire i piani di supporto a $f$ in $z$ ).

$\partial f (z)$ gode di interessanti proprietà.

$\partial f (z)$ è localmente limitato: se $z \in C$ e $r > 0$ è tale che $B (z, 2 r) \subset C$ allora esiste $L > 0$ tale che $\forall y \in B (z, r)$ , $\forall v \in \partial f (x)$ si ha $| v | \leq L$ . In particolare, per ogni $z \in C$ si ha che $\partial f (z)$ è un insieme limitato.
Mostrate che $\partial f$ è continua superiormente in questo senso: se $z \in C$ e $(z_{n})_{n} \subset C$ e $v_{n} \in \partial f (z_{n})$ e se $z_{n} \to_{n} z$ e $v_{n} \to_{n} v$ allora $v \in \partial f (z)$ . In particolare, per ogni $z \in C$ , $\partial f (z)$ è un insieme chiuso.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’189’]

E367

[18B] Argomenti:minimi. Prerequisiti:5.Sia $C \subseteq ℝ^{n}$ un convesso, e $f : C \to ℝ$ una funzione convessa. Mostrate che $z \in C^{\circ}$ è un minimo se e solo se $0 \in \partial f (z)$ .

E367

[18C] Prerequisiti:3,5.Note:Un viceversa del 2.

Sia $C \subset ℝ^{n}$ un convesso aperto; sia $f : C \to ℝ$ convessa; esistono successioni $(a_{h})_{h} \subseteq ℝ, (v_{h})_{h} \in ℝ^{n}$ per $h \in ℕ$ , tali che $f (x) = sup_{h \in ℕ} (a_{h} + v_{h} \cdot x)$ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18D’]