15.3 Caso reale
Sia \(I⊂ ℝ\), allora \(I\) è convesso se e solo è un intervallo (si veda 1). Nel seguito considereremo \(f:I→ℝ\) dove \(I=(a,b)\) è un intervallo aperto.
- E369
[18F] Si mostri che \(f(x)\) è convessa se e solo se la mappa \(R(x,y)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\) è monotona debolmente crescente in \(x\). 1 Inoltre \(f\) è strettamente convessa se e solo se \(R\) è strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18G’]
- E369
[18H]Si mostri che per una funzione convessa \(f:(a,b)→ℝ\) vi sono solo tre possibilità:
\(f\) è strettamente crescente
\(f\) è strettamente decrescente
vi sono due valori \(l_-≤ l_+\) tale che \(f\) è strettamente crescente in \([l_+,b)\), \(f\) è strettamente decrescente in \((a,l_-]\), e l’intervallo \([l_-,l_+]\) sono tutti i punti di minimo di \(f\);
se inoltre \(f\) è strettamente convessa allora vi è al più un solo punto di minimo.
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[18J]Sia \(f : (a, b)→ ℝ\) convessa. Si mostri che per ogni intervallo chiuso \(I ⊂ (a, b)\) esiste una costante \(C\) tale che \(f |_ I\) risulta Lipschitziana con costante \(C\). Si mostri un esempio di funzione continua e convessa definita su un intervallo chiuso che non è Lipschitziana.
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[18K]Si mostri che una funzione continua \(f : (a, b) → ℝ\) è convessa se e soltanto se per ogni \(u, v ∈ (a, b)\) si ha
\[ f\left(\frac{u+v} 2\right) ≤ \frac{f (u) + f (v)} 2\quad . \]
Convessità e derivate
- E369
[18M] Prerequisiti:1.Sia \(f: (a, b)→ ℝ\) convessa.
Si mostri che in ogni punto esistono la derivata destra \(d^+(x)\) e sinistra \(d^-(x)\) (In particolare \(f\) è continua).
Si mostri che \(d^-(x)≤ d^+(x)\),
mentre per \(x{\lt} y\) si ha \(d^+(x)≤ R(x,y) ≤ d^-(y)\).
Si deduca che \(d^+(x)\) e \(d^-(x)\) sono monotone debolmente crescenti.
Si mostri che \(d^+(x)\) è continua a destra, mentre \(d^-(x)\) è continua a sinistra.
Inoltre si mostri che \(\lim _{s→ x-}d^+(s)=d^-(x)\), mentre \(\lim _{s→ x+}d^-(s)=d^+(x)\). In particolare \(d^+\) è continua in \(x\) se e solo se \(d^-\) è continua in \(x\) se e solo se \(d^-(x)= d^+(x)\).
Dunque \(d^+,d^-\) sono, per così dire, la stessa funzione monotona, solo che nei punti di discontinuità \(d^+\) assume il valore dei limiti destri mentre \(d^-\) il valore dei limiti sinistri.
Usate il precedente per mostrare che \(f\) è derivabile in \(x\) se e solo se \(d^+\) è continua in \(x\), se e solo se \(d^-\) è continua in \(x\).
Si mostri dunque che \(f\) è derivabile salvo che in un numero al più numerabile di punti.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18N’]
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[18P] Prerequisiti:1.Se \(f: (a, b)→ ℝ\) è derivabile, allora \(f\) è convessa se e solo se \(f'\) è debolmente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18Q’]
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[18R] Prerequisiti:1,2.Se \(f: (a, b)→ ℝ\) è derivabile, allora \(f\) è strettamente convessa se e solo se \(f'\) è strettamente crescente. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18S’]
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[18T] Prerequisiti:1, 2.Se \(f: (a, b)→ ℝ\) è derivabile due volte, allora \(f\) è convessa se e solo se \(f''≥ 0\) in ogni punto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18V’]
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Sia \(J⊂ ℝ \) intervallo aperto non vuoto, e \(f:J→ℝ\) derivabile due volte e convessa. Si mostri che i seguenti fatti sono equivalenti:
\(f\) è strettamente convessa,
l’insieme \(\{ x∈ J:f''(x)=0\} \) ha parte interna vuota,
\(f'\) è monotona strettamente crescente.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18X’]
Si veda anche l’ esercizio 4 per il rapporto fra integrale e convessità.
Funzioni convesse a valori estesi
Consideriamo funzioni convesse che possono anche assumere valore \(+∞.\) Sia \(I\) un intervallo.
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[18Y]Sia \(f:I→ℝ∪\{ ∞\} \) convessa, si mostri che \(J=\{ x∈ I:f(x){\lt}∞\} \) è un intervallo.
- E369
[18Z]Note:un altro viceversa del 2.
Fissato \(I⊆ ℝ\) intervallo e data \(f:I→ℝ∪\{ ∞\} \) convessa e semicontinua inferiore, esistono successioni \(a_ n,b_ n∈ℝ\) tali che \(f(x)=\sup _ n (a_ n+b_ n x)\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’190’]