12.1 Norme nello spazio Euclideo[2CK]

(Il fatto che queste siano norme si dimostra con la 332).

E330

[10D]Mostrate che \(\lim _{p→∞}\| x\| _ p =\| x\| _∞\).

E330

[10F] Prerequisiti:1.Dati \(t,s∈[1,∞]\) con \(s{\gt}t\) e \(x∈ℝ^ n\) mostrate che \(\| x\| _{s}≤ \| x\| _{t}\). Inoltre mostrate che \(\| x\| _{s}{\lt} \| x\| _{t}\) se \(n≥ 2\) e \(x≠ 0\) e \(x\) non è multiplo di uno dei vettori della base canonica \(e_ 1,\ldots e_ n\).

Suggerimenti:

1. usate che \(1+t^ p≤ (1+t)^ p\) per \(p≥ 1\) e \(t≥ 0\); o

2. usate i moltiplicatori di Lagrange; o

3. ricordiamo che \(f(a+b){\gt} f(a)+f(b)\) quando \(a≥ 0, b{\gt}0\) \(f(0)=0\) e \(f:[0,∞)→ℝ\) è strettamente convessa e continua in 0 (si veda l’esercizio 2), dunque derivate \(\frac{d\hskip5.5pt}{d{t}}(\log \| x\| _{t})\) e ponete \(f(z)=z\log (z)\)).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10G’] [UNACCESSIBLE UUID ’10H’]

[10J] Dati \(s,t∈[1,∞]\) con \(s{\lt}t\) mostrate che \(n^{-1/s}\| x\| _ s≤ n^{-1/t} \| x\| _ t\) (dove si intende \(n^{-1/∞}=1\)). (Notate che questa è una disuguaglianza fra medie).
(Sugg. Ponete \(𝛼=t/s\) e \(y_ i=|x_ i|^ s\), poi usate la convessità di \(f(y)=y^{𝛼}\). Altro suggerimento: usate 3.) Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10K’] [10M] Siano dati \(p,q∈[1,∞]\) tali che \(1/p + 1/q = 1\)  ¹ e \(x,y∈ℝ^ n\); si mostri la disuguaglianza di Hölder in questa forma

In quali casi si ha uguaglianza?

Suggerimenti: assumete \(x_ i,y_ i≥ 0\); per i casi con \(p,q{\lt}∞\) potete:

• usare la disuguaglianza di Young (3 o 3);

• usare i moltiplicatori di Lagrange;

• partire dal caso \(n=2\) e porre \(x_ 2=t x_ 1\) e \(y_ 2=a y_ 1\); per i casi \(n≥ 3\) usare induzione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10N’] [10P] Prerequisiti:3.Si deduca la versione

dalla ??. In quale caso vale l’uguaglianza? [10Q] Prerequisiti:3.Dato \(p∈[1,∞]\) si mostri la disuguaglianza di Minkowski

Se ne deduce che \(\| x\| _ p\) sono norme.

Per \(p∈ (1,∞)\) trovate una semplice condizione (necessaria e sufficiente) che comporti l’uguaglianza; confrontatela con 2; deducete che \(ℝ^ n\) con la norma \(\| ⋅\| _ p\) per \(p∈ (1,∞)\) è uno spazio normato strettamente convesso (vedere 3). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10R’] [10S]Prerequisiti:1,1,2.Sia \(r{\gt}0\); se \(p∈[1,∞]\) allora la palla \(B_ r^ p=\{ \| x\| _ p{\lt} r\} \) è convessa; inoltre \(B_ r^ p⊆ B_ r^{\tilde p}\) se \(\tilde p{\gt} p\). Nel caso \(n=2\) del piano, studiare graficamente la forma delle palle al variare di \(p\). Vi sono punti che si trovano sulla frontiera di tutte le palle? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10T’] [10V]Se \(r{\gt}0\) e \(p∈(1,∞)\) allora la sfera \(\{ \| x\| _ p= r\} \) è una superficie regolare. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10W’] [10X] Prerequisiti:??.Dotiamo \(ℝ^ n\) della norma \(\| x \| _∞\): mostrare che in dimensione 2 il disco \(\{ x∈ℝ^ n , \| x\| _∞≤ 1\} \) è un quadrato, e in dimensione 3 è un cubo, etc etc.

Ora dotiamo \(ℝ^ n\) della norma \(\| x \| _ 1\): mostrare che in dimensione 2 il disco \(\{ x∈ℝ^ n , \| x\| _ 1≤ 1\} \) è un rombo cioè precisamente un quadrato ruotato di 45 gradi; e in dimensione 3 il disco è un’ottaedro. [10Y]Trovate una norma in \(ℝ^ 2\) tale che la palla sia un poligono regolare di \(n\) lati.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’10Z’]