17.5 Problemi vincolati[2D5]
[1F6]Sia ora \(A ⊆ ℝ^ n\) un aperto e \(f,𝜑:A\to {\mathbb {R}}\) funzioni reali di classe \(C^ 1\) su \(A\). Fissato \(a∈ℝ\) definiamo poi l’insieme di livello
assumiamo che \(E_ a\) sia non vuoto, e che \(∇ 𝜑(x) ≠ 0\) per ogni \(x ∈ E_ a\).
Chiamiamo punto di minimo locale di \(f\) vincolato a \(E_ a\) un punto di \(E_ a\) che sia di minimo locale per \(f|_{E_ a}\); e similmente per i massimi.
Per risolvere i seguenti esercizi potrà essere utile applicare i risultati visti in 6, 6, 3.
- E402
[1H8] Prerequisiti:402,3. Siano \(f,𝜑\) di classe \(C^ 1\) nell’ aperto \(A\), e sia \(\overline x\) un punto di minimo locale per \(f\) vincolato ad \(E_ a\) (dunque \(𝜑(x)=a\)). Mostrate che esiste \(𝜆∈ℝ\) tale che \(∇ f(\overline x)+𝜆 ∇𝜑(\overline x)=0\); questo \(𝜆\) è detto il moltiplicatore di Lagrange.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1H9’]
- E402
[1HB] Prerequisiti:402,6,1.Siano \(f,𝜑\) di classe \(C^ 2\) nell’ aperto \(A\), e sia \(\overline x\) un punto di minimo vincolato per \(f\) vincolata ad \(E_ a\); sia \(𝜆\) il moltiplicatore di Lagrange; definiamo \(h=f(x)+𝜆𝜑(x)\), allora
\[ ∀ v, v⋅ ∇ 𝜑(x)=0⟹ v⋅ H v≥ 0 \]dove \(H\) è la matrice Hessiana di \(h\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HC’]
- E402
[1HD] Nelle stesse ipotesi, vediamo un “vice versa”. Siano \(f,𝜑:A\to {\mathbb {R}}\) di classe \(C^ 2\) nell’ aperto \(A\), e siano \(\overline x∈ E_ a\) e \(𝜆∈ℝ\) tali che \(∇ f(\overline x)+𝜆 ∇𝜑(\overline x)=0\); si abbia
\[ ∀ v, v⋅ ∇ 𝜑(x)=0⟹ v⋅ H v {\gt} 0 \]dove
\[ h(x)=f(x)+𝜆𝜑(x) \]e \(H\) è la matrice Hessiana di \(h\) in \(\overline x\). Si mostri allora che \(\overline x\) è un punto di minimo locale vincolato per \(f\) rispetto a \(E_ a\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HF’]
Vincoli con diseguaglianze
Consideriamo ora un diverso tipo di vincolo.
[2BH]Sia
assumiamo sempre che \(F_ a\) sia non vuoto e che \(∇ 𝜑(x) ≠ 0\) per ogni \(x ∈ E_ a\).
Chiamiamo punto di minimo locale di \(f\) vincolato a \(F_ a\) un punto di \(F_ a\) che sia di minimo locale per \(f|_{F_ a}\); e similmente per i massimi.
- E403
[1HG]Prerequisiti:403,402.Mostrate che \(∂ F_ a = E_ a\) e che \(F_ a\) coincide con la chiusura della sua parte interna. (Le operazioni di chiusura e frontiera vanno eseguite all’interno di \(A\), visto come spazio topologico!)
- E403
[1HH]Prerequisiti:403.Mostrate che condizione necessaria perché \(x∈ A\) sia minimo locale di \(f\) vincolata a \(F_ a\) è che,
o \(𝜑(x){\lt}a\) e \(∇ f(x)=0\),
oppure \(𝜑(x)=a\) e \(∇ f(x)+𝜆 ∇𝜑(x)=0\) con \(𝜆≥ 0 \).
Queste sono le condizioni di Karush–Kuhn–Tucker.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HJ’]
- E403
[1HK]Prerequisiti:403.Nel caso \(n=1\), supponiamo che \(A\) sia un intervallo aperto, mostrate che se \(𝜑(x)=a\) e \( f'(x) 𝜑'(x){\lt} 0\) allora il punto \(x\) è punto di minimo locale per \(f\) vincolata a \(F_ a\).
- E403
[1HM]Prerequisiti:403.Trovate un semplice esempio nel caso \(n=2\) in cui il punto \(x\) non è di minimo locale per \(f\) vincolata a \(F_ a\), ma \(𝜑(x)=a\) e \(∇ f(x)+𝜆 ∇ 𝜑(x)=0\) con \(𝜆 {\gt}0\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1HN’]