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8.8 Basi[2B5]

Definizione 265 Base

[0KK] Dato uno spazio topologico \((X,𝜏)\), una base ¹ è una collezione \({\mathcal B}\) di aperti (cioè \({\mathcal B}⊆ 𝜏\)) con la proprietà che ogni elemento di \(𝜏\) è unione di elementi di \({\mathcal B}\).

Per esempio, se \(X\) è uno spazio metrico, allora la famiglia di tutte le palle aperte è una base.

E265

[0KM] Sia \({\mathcal B}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\); preso un aperto \(A∈ 𝜏\), per ogni \(x∈ A\) possiamo scegliere un \(B_ x∈ {\mathcal B}\) con \(x∈ B_ x\), e tali che \(A=⋃_{x∈ A}B_ x \).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KN’][UNACCESSIBLE UUID ’0KP’]

E265

[0KQ] Prerequisiti:1.Sia \({\mathcal B}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\). Mostrate che, dato \(x∈ X\),

\[ \{ B∈ {\mathcal B} : x∈ B\} \]

è un sistema fondamentale di intorni di \(x\) . [UNACCESSIBLE UUID ’0KR’]

[0KS] Prerequisiti:2, 2, 1.Sia \({\mathcal B}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\). Mostrate che, dato \(A⊆ X\), si ha che

\[ {{A}^\circ } = {\underline⋃} \{ B∈{\mathcal B}: B⊆ A \} \]

mentre

\[ \overline A = \{ x∈ X: ∀ B∈{\mathcal B} , x∈ B⇒ B∩ A≠∅ \} \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KT’] [0M7] Prerequisiti:1.Dato \(X\), date \({\mathcal C}\) base per una topologia \(𝜎\) su \(X\), e \({\mathcal B}\) base per una topologia \(𝛽\) su \(X\), si ha che \(𝜎⊇𝛽\) se e solo se per ogni \(x∈ X\) e per ogni \(B∈ {\mathcal B},B∋ x\) esiste \(C∈ {\mathcal C},C∋ x, C⊆ B\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0M8’] [0KV]Prerequisiti:1.Sia \(X=\{ 1,2,3\} \) e sia \({\mathcal B}=\{ \{ 1,2\} ,\{ 2,3\} \} \); sia \(𝜏\) la più piccola topologia che contiene \({\mathcal B}\), mostrate che \({\mathcal B}\) non è una base per \(𝜏\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KW’]

È dunque interessante cercare di capire quando una famiglia \({\mathcal B}\) può essere base per una topologia. [0KX]Sia \({\mathcal B}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\); allora valgono le due proprietà seguenti.

(a): \(\underline⋃ {\mathcal B} = X\) cioè l’unione di tutti gli elementi della base è \(X\).
(b): Dati \(B_ 1,B_ 2∈ {\mathcal B}\) per ogni \(x∈ B_ 1∩ B_ 2\) esiste \(B_ 3∈ {\mathcal B}\) tale che \(x∈ B_ 3⊆ B_ 1∩ B_ 2\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KY’] [0KZ] Prerequisiti:1,4.Viceversa sia \(X\) un insieme e \({\mathcal B}\) una famiglia di sottoinsiemi che verifica le precedenti proprietà (a),(b) viste in 2. Sia \(𝜎\) la famiglia degli insiemi che si ottengono come unione di elementi di \({\mathcal B}\), in simboli ²

\[ 𝜎{\stackrel{.}{=}}\left\{ ⋃_{i∈ I} A_ i : I~ \text{ famiglia di indici e } ~ A_ i∈ {\mathcal B} ∀ i∈ I\right\} ~ ~ ; \]

si intende che anche \(∅∈ 𝜎\). Si mostri che \(𝜎\) è una topologia.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0M0’] [0M1] Prerequisiti:topologia generata 1, 2, 2.Riprendiamo 2. Sia di nuovo \(X\) un insieme e \({\mathcal B}\) una famiglia di sottoinsiemi che verifica le precedenti proprietà (a),(b) viste in 2; sia \(𝜏\) la più piccola topologia che contiene \({\mathcal B}\). Si verifichi \({\mathcal B}\) è una base per \(𝜏\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0M2’]

Possiamo dunque dire che una famiglia che soddisfa (a),(b) è una base per la topologia che essa genera. Questo risponde all’interrogativo posto in 2. [0M3]Prerequisiti:1,2,2. Siano ora \(X_ 1,\ldots X_ n\) spazi topologici con topologie rispettivamente \(𝜏_ 1,\ldots 𝜏_ n\); sia \(X=∏_{i=1}^ nX_ i\) il prodotto cartesiano. Applichiamo i precedenti risultati per definire la topologia prodotto \(𝜏\): questa si può vedere in due maniere equivalenti.

Unione di tutti i prodotti cartesiani di aperti ³

\begin{align*} 𝜏=\Big\{ ⋃_{j∈ J} ∏_{i=1}^ n A_{i,j} : A_{1,j}∈𝜏_ 1,\ldots A_{n,j}∈𝜏_ n∀ j∈ J , J~ \\ \text{famiglie arbitrarie di indici} \Big\} ~ ~ . \end{align*}
\(𝜏\) è la più piccola topologia che contiene i prodotti cartesiani di aperti.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0M4’] [0M5]Prerequisiti:2,2,2.Siano ora \(X_ 1,\ldots X_ n\) spazi topologici con topologie rispettivamente \(𝜏_ 1,\ldots 𝜏_ n\) e siano \({\mathcal B}_ 1,{\mathcal B}_ 2,\ldots {\mathcal B}_ n\) basi per questi spazi; sia \(X=∏_{i=1}^ nX_ i\) il prodotto cartesiano, e sia

\[ {\mathcal B}=\left\{ ∏_{i=1}^ n A_ i : A_ 1∈{\mathcal B}_ 1,A_ 2∈{\mathcal B}_ 2,\ldots A_ n∈{\mathcal B}_ n\right\} \]

la famiglia di tutti i prodotti cartesiani di elementi scelti dalle rispettive basi. Mostrate che \({\mathcal B}\) è una base per la topologia prodotto. (Questo esercizio generalizza il precedente 2, prendendo \({\mathcal B}_ i=𝜏_ i\)).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0M6’]

Vedete anche l’esercizio 2 per una applicazione al caso di spazi metrici. [2F7]Prerequisiti:2,2,2.

Siano ora, più in generale, \(I\) un’insieme non vuoto di indici, e siano \((X_ i,\tau _ i)\) spazi topologici , al variare di \(i\in I\); siano \({\mathcal B}_ i\) basi per \(\tau _ i\). (La scelta \({\mathcal B}_ i=\tau _ i\) è ammissibile).

Sia \(X=∏_{i\in I} X_ i\) il prodotto cartesiano.

Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), similmente a 2, ma con una differenza.

Una base \({\mathcal B}\) per \(\tau \) è data dalla famiglia di tutti gli insieme della forma \(A=∏_{i\in I} A_ i\) dove

\[ \forall i\in I, A_ i\in {\mathcal B}_ i\lor A_ i= X_ i~ ~ , \]

e inoltre \(A_ i= X_ i\) eccetto eventualmente un numero finito di \(i\).

Dimostrate che \({\mathcal B}\) soddisfa i requisiti visti in 2, dunque è una base per la topologia \(\tau \) che essa genera. Dimostrate che la topologia prodotto \(\tau \) non dipende dalla scelta delle basi \({\mathcal B}_ i\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2F8’] [0M9] Prerequisiti:55, 2. Verifichiamo che quanto espresso in 8 vale anche per le “basi”. Sia \({{\mathcal B}}\) una base per una topologia \(𝜏\) su \(X\); consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi (formalmente \(A ⪯ B \iff A⊇ B\)); con questo ordinamento \(({{\mathcal B}},⪯)\) è un insieme diretto, il cui minimo è \(∅\). Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi \(x∈ X\), sia \({{\mathcal U}}=\{ A∈{{\mathcal B}}: x∈ A\} \) la famiglia degli elementi della base che contengono \(x\): mostrate che \({{\mathcal U}}\) è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) è aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MB’] [2F5] Si consideri un insieme totalmente ordinato \(X\) (con almeno due elementi), e la famiglia \(\mathcal F\) di tutti gli intervalli aperti

\begin{align} (x,∞) {\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : x{\lt}z\} ~ ~ ,~ ~ (-∞,y){\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : z{\lt}y\} ~ ~ ,\nonumber \\ ~ ~ (x,y){\stackrel{.}{=}}\{ z∈ X : x{\lt}z{\lt}y\} \label{eq:intervalli_ topologia_ ordine} \end{align}

per tutti \(x,y∈ X\). (Cf. 68.) Dimostrare che questa è una base per una topologia, i.e. che soddisfa 2. Quindi \(\mathcal F\) è una base per la topologia \(𝜏\) che essa genera. Questa topologia \(𝜏\) è chiamata topologia d’ordine.

Se \(X\) non ha né massimo né minimo, allora gli intervalli \((x,y)\) da soli sono già una base per \(𝜏\). Questo è il caso delle usuali topologie in \(ℝ\), \(ℚ\), \(ℤ\). [2FD]Prerequisiti:2.Si considerino spazi topologici \((X_ i,\tau _ i)\), ciascuno con la topologia discreta (e ciascuno \(X_ i\) ha almeno due elementi). Sia \(I=ℕ\) o \(I=\{ 0,1,\ldots N\} \) ; definiamo \(X=∏_{i∈ I} X_ i\) il prodotto cartesiano. Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), come definito in 2. Mostrate una semplice base per questa topologia. Inoltre, se \(I=ℕ\), mostrate che la topologia \(\tau \) non è la topologia discreta.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2FF’]

[2F9]Prerequisiti:2,2,64,2.

Si considerino insiemi totalmente ordinati \((X_ i,≤_ i)\) (con almeno due elementi), e le associate topologia d’ordine \(𝜏_ i\).

Sia \(I=ℕ\) o \(I=\{ 0,1,\ldots N\} \) ; definiamo \(X=∏_{i∈ I} X_ i\) il prodotto cartesiano.

Si considerino queste due topologie.

Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), come definito in 2.
Dotiamo \(X\) dell’ ordine lessicografico \(⪯\), e poi della topologia d’ordine \(𝜎\). (Si rivedano 64,2)

Quale relazione di inclusione si ha fra \(𝜎\) e \(𝜏\)?

Se ciascun \(X_ i\) è finito, dimostrate che queste due topologie coincidono ⁴ .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2FC’]