EDB — 2F9

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E17

[2F9]Prerequisiti:[2F5],[2F7],[071],[2F7].

Si considerino insiemi totalmente ordinati \((X_ i,≤_ i)\) (con almeno due elementi), e le associate topologia d’ordine \(𝜏_ i\).

Sia \(I=ℕ\) o \(I=\{ 0,1,\ldots N\} \) ; definiamo \(X=∏_{i∈ I} X_ i\) il prodotto cartesiano.

Si considerino queste due topologie.

  • Definiamo la topologia prodotto \(𝜏\) su \(X\), come definito in [2F7].

  • Dotiamo \(X\) dell’ ordine lessicografico \(⪯\), e poi della topologia d’ordine \(𝜎\). (Si rivedano [071],[2F7])

Quale relazione di inclusione si ha fra \(𝜎\) e \(𝜏\)?

Se ciascun \(X_ i\) è finito, dimostrate che queste due topologie coincidono  1 .

Soluzione 1

[2FC]

  1. Notate che la topologia d’ordine su un insieme finito coincide con la topologia discreta; usate [2FD].
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Bibliografia
Indice analitico
  • base, (topologia)
  • topologia, d'ordine
  • ordinamento, topologia dall'—
  • ordinamento, totale
  • topologia, prodotto (infinito)
  • prodotto, topologia — (infinito)
  • ordinamento, lessicografico
  • topologia, discreta
  • discreta, topologia —
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