8.1 Intorni, punti aderenti, punti isolati, punti di accumulazione[29V]
[0GW] 1 Sia \((X, τ )\) uno spazio topologico e sia \(x_ 0 ∈ X\).
Si chiama intorno di \(x_ 0\) un qualunque soprainsieme di un aperto contenente \(x_ 0\) .
Si chiama sistema fondamentale di intorni di \(x_ 0\) una famiglia \(\{ U_ i \} _{i∈I}\) di intorni di \(x_ 0\) con la proprietà che ogni intorno di \(x_ 0\) contenga almeno uno degli \(U_ i\) .
Diremo che \(U\) è un intorno aperto di \(x_ 0\) semplicemente per dire che \(U\) è un aperto che contiene \(x_ 0\).
[0GX] Siano \(E,F⊆ X\):
un punto \(x_ 0 ∈ X\) si dice aderente a \(E\) se ogni intorno \(U\) di \(x_ 0\) ha intersezione non vuota con \(E\);
un punto \(x_ 0 ∈ E\) si dice isolato in \(E\) se esiste un intorno \(U\) di \(x_ 0\) tale che \(E ∩ U = \{ x_ 0 \} \);
(Notate che, in certi casi, gli insiemi possono avere al più un numero numerabile di punti isolati: si veda 2 e 1, e anche 2).
Definiamo inoltre questo concetto (già visto in 176 per il caso \(X={\mathbb {R}}\)).
- E250
[0GZ]Verificate che nelle definizioni 249 e 250 potete equivalentemente usare, al posto degli intorni \(U\) di \(x_ 0\), gli intorni aperti \(U\) di \(x_ 0\).
- E250
[0H0] Verificate che nelle definizioni 249 e 250 potete equivalentemente usare intorni \(U\) di \(x_ 0\) scelti in un sistema fondamentali di intorni fissato.
- E250
[0H1] Verificate che l’insieme dei punti aderenti ad \(A\) coincide con la chiusura di \(A\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0H2’]
- E250
[0H3] Prerequisiti:3.Verificate che \(\overline A=A∪ D(A)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0H4’]
- E250
[0H5] Un punto \(x\in X\) è punto di accumulazione per \(X\) 4 se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) non è aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0H6’]
- E250
[0H7] Argomenti:frontiera. Sia \(A⊂ X\). Ricordiamo la definizione di frontiera \(∂ A=\overline A⧵ {{A}^\circ }\). Si noti che \(∂ A\) è chiuso: infatti posto \(B=A^ c\) il complementare, si verifica facilmente che \(∂ A=\overline A∩ \overline B\). In particolare abbiamo mostrato che \(∂ A=∂ B\).
Mostrate che i tre insiemi \(∂ A,{{A}^\circ },{{B}^\circ }\) sono disgiunti, e che la loro unione è \(X\); in particolare mostrate che i tre insiemi sono caratterizzati da queste tre proprietà:
ogni intorno di \(x\) interseca sia \(A\) che \(B\);
esiste intorno di \(x\) contenuto in \(A\);
esiste intorno di \(x\) contenuto in \(B\).
(Si veda anche 286 per il caso di spazi metrici). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0H8’]
- E250
[0H9] Argomenti:frontiera.Difficoltà:*.
Dato \(X\) spazio topologico e \(A⊆ X\); se \(A\) è aperto (o chiuso) la frontiera \(∂ A\) non ha parte interna; si ha \(∂ A⊇ ∂∂ A\) con uguaglianza se \(∂ A\) non ha parte interna; inoltre \(∂∂ A= ∂∂∂ A\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HB’][UNACCESSIBLE UUID ’0HC’]
- E250
[0HD] Prerequisiti:4.Se \((X,𝜏)\) è uno spazio topologico e \(A⊂ X\) non ha punti isolati, allora anche \(\overline A\) non ha punti isolati. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HF’]
- E250
[0HG]Note:compitino 12/1/2013.Sia A un sottoinsieme aperto di \(X\). Si dimostri che, per ogni sottoinsieme B di \(X\) , vale l’inclusione \(A ∩ \overline B ⊆ \overline{A ∩ B}\). Si dimostri con un esempio che la conclusione non vale se si rimuove l’ipotesi che A sia aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HH’]
- E250
[0HJ]Dato \(E⊆ X\), distinguiamo i punti \(x∈ X\) in tre insiemi distinti che sono una partizione di \(X\).
Per ogni intorno \(U\) di \(x\), \(U⧵\{ x\} \) interseca \(E\). Questi sono i punti di accumulazione di \(E\).
\(x∈ E\) e esiste un intorno \(U\) di \(x\) tale che \(U∩ E =\{ x\} \). Questi sono i punti isolati in \(E\).
Descrivete ora voi il terzo insieme di punti
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HK’]