8.9 Spazi primo- e secondo-numerabili[2BK]
[0MC] Uno spazio topologico soddisfa il primo assioma di numerabilità se ogni punto ammette un sistema fondamentale di intorni che sia numerabile.
[0MD]Uno spazio topologico soddisfa il secondo assioma di numerabilità se esiste una base numerabile.
- E268
[0MF] Difficoltà:*.Se \((X,𝜏)\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità, se \(A⊆ X\) è composto solo da punti isolati, allora \(A\) ha cardinalità numerabile o finita. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MG’]
- E268
[0MH] Prerequisiti:2. Se \((X,𝜏)\) soddisfa il secondo assioma di numerabilità, dato \(A⊆ X\) esiste un sottoinsieme numerabile \(B⊆ A\) tale che \(\overline B⊇ A\). In particolare l’intero spazio \(X\) ammette un sottoinsieme numerabile denso: si dice che \(X\) è separabile. Il viceversa vale ad esempio negli spazi metrici, si veda 286. Si veda anche 3 per un applicazione in \(ℝ^ n\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0MJ’]
Gli assiomi di numerabilità ritorneranno negli esercizi 286 e 286.