24 (pseudo)compit(in)i[1T8]
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[1T9] Note:rielaborato dal compito 26 Gennaio 2016.
Sia \((q_ n )_{n≥1}\) una enumerazione dei razionali di \((0, 1)\) e definiamo
\[ f(t) {\stackrel{.}{=}}∑_{n: q_ n {\lt}t} 2^{ −n} \]e
\[ g (t) {\stackrel{.}{=}}∑_{n: q_ n ≤ t} 2^{ −n} \]Mostrate che \(f,g\) sono strettamente crescenti.
Calcolate i limiti per \(t ↓ 0\) e \(t ↑ 1\).
Mostrate che \(f\) è continua a sinistra, \(g\) è continua a destra, e che
\[ \lim _{𝜏→ t+} f (𝜏) =g(t) \quad ,\quad \lim _{𝜏→ t-} g (𝜏) =f(t) \quad . \]Mostrate inoltre che \(f\) è discontinua in \(t\) se e solo se \(t ∈ ℚ ∩ (0, 1)\); e similmente per \(g\).
Cosa cambia se sostituiamo \(2^{ −n}\) con il termine \(a_ n\) di una serie assolutamente convergente?
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TB’][UNACCESSIBLE UUID ’1TC’]
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[1TD]Prerequisiti:6.Note:compito 23 giugno 2012.
Sia f una funzione di classe \(C^ 1\) su \(ℝ\), con \(f (0) ≠ 0\). Si dimostri che esiste \(x ∈ ℝ\) tale che i due vettori
\[ v = (x, f (x)) \quad , \quad w = (− f' (x), 1) \]siano linearmente dipendenti. (Notate che il vettore \(w\) è ortogonale al tangente al grafico di \(f\).) Si discuta la possibilità che questa condizione sia verificata per ogni \(x ∈ ℝ\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TF’]
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[1TG]Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.
Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) continua e tale che
\[ \lim _{x→+∞} f(x)/x=+∞\quad . \]Fissato \(a{\lt}f(0)\) sia \(M_ a\) l’insieme degli \(m∈ℝ\) tali che la retta \(y=mx+a\) intersechi il grafico \(y=f(x)\) della funzione \(f\) in almeno un punto: si mostri che \(M_ a\) ammette minimo \(\hat m=\hat m(a)\);
si mostri che \(\hat m\) dipende in modo continuo da \(a\), 1
e che \(\hat m(a)\) è monotona strettamente decrescente.
Se \(f\) è derivabile, si mostri che la retta \(y=\hat m(a) x+a\) è tangente al grafico in tutti i punti in cui lo incontra.
Supponiamo ulteriormente che \(f\) sia di classe \(C^ 2\) e che \(f''(x){\gt}0∀ x{\gt}0\) 2 . Si mostri che vi è un unico punto \(x\) in cui la retta \(y=\hat m(a) x+a\) incontra il grafico \(y=f(x)\); lo chiamiamo \(\hat x=\hat x(a)\);
e mostrate che le funzioni \(a↦ \hat x(a)\) e \(a↦ \hat m(a)\) sono derivabili.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TH’]
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[1TJ] Argomenti:cerchio osculatore. Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.
Sia \(f:ℝ→ℝ\) derivabile due volte in \(0\), con \(f(0)=0\) e \(f''(0)≠ 0\). Si dimostri che esistono unici un punto \(P=(a,b)\) nel piano e una costante \(r{\gt}0\), tali che
\[ d\big(\, P,\, (x,f(x))\, \big) = r + o(x^ 2), \]determinando \(a,b,r\) in funzione di \(f'(0),f''(0)\). Si intende che \(d(P,Q)\) è la distanza euclidea fra due punti \(P,Q\) nel piano.
Sugg. per chiarirvi le idee, provate innanzitutto il caso in cui anche \(f'(0)=0\).
(Il grafico della funzione \(f\) è una curva nel piano; per ipotesi questa curva passa per l’origine; in questo esercizio abbiamo determinato il cerchio, di raggio \(r\) e centro \(P\), che meglio approssima la curva nelle vicinanze dell’origine: questo cerchio è detto “cerchio osculatore”, e il suo raggio si chiama “raggio di curvatura”, e l’inverso del raggio è la “curvatura” della curva nell’origine.)
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TK’][UNACCESSIBLE UUID ’1TM’]
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[1TN]Note:Esercizio 2, Compito 4 Aprile 2009.
Si verifichi che per ogni \(t{\gt}1\) l’equazione
\[ \sin x = x ^ t \]ammette una e una sola soluzione \(x{\gt}0\).
Chiamata \(f(t)\) tale soluzione, si determini l’immagine della funzione \(t\) e si dimostri che è strettamente crescente e continua su \((1,+∞)\).
Si dimostri che \(f\) si prolunga per continuità a \(t=1\) e si discuta l’esistenza della derivata destra della funzione prolungata in tale punto.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1TP’]
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[1TS]Sia \(f:ℝ→ℝ\) continua e tale che \(\cos (f(x))\) è derivabile: se ne può dedurre che \(f\) è derivabile? Se è vero, dimostratelo; se non è vero, producete un esempio.
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[1TT]Sia \(f:ℝ→ℝ\) con \(f{\gt}0\) e tale che \(\log (f(x))\) è convessa: se ne può dedurre che \(f\) è convessa? Se è vero, dimostratelo; se non è vero, producete un esempio.
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[1TV]Siano \(f,g:ℝ→ℝ\) di classe \(C^∞\), con \(g{\gt}0\): mostrate che \(f/g\) è di classe \(C^∞\).
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[1TW]Sia \(f(x)=∑_{n=0}^∞ a_ n x^ n\) con raggio di convergenza \(𝜌{\gt}0\), e sia \(f(0)=f'(0)=\ldots =f^{(n)}(0)=0\); si mostri che la funzione \(g(x)=f(x) / x^ n\) è estendibile a \(x=0\); si mostri (l’estensione di) \(g\) coincide con una opportuna serie di potenze \(g(x)=∑_{n=0}^∞ b_ n x^ n\). Cosa si può dire del raggio di convergenza di \(g\)?
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[1TX]Note:Criterio di Dirichlet per gli integrali.
Siano \(f,g:[0,∞)→ℝ\) continue, e inoltre \(f\) positiva e monotona decrescente con \(\lim _{x→∞} f(x)=0\), mentre
\[ \sup _{x{\gt}0} |∫_ 0^ x g(t)\, {\mathbb {d}}t| {\lt}∞\quad . \]Dimostrate allora che
\[ \lim _{x→∞} ∫_ 0^ x f(t) g(t)\, {\mathbb {d}}t \]converge.
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[1TY]Note:compitino 12/1/2013.
Dato un sottoinsieme \(E\) di \(ℕ\) e un intero \(n ∈ ℕ\), l’espressione
\[ \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, . . . , n\} )}{n+1} \]indica quale frazione del segmento \(\{ 0, 1, . . . , n\} \) è contenuta in E. La nozione di “densità” in \(ℕ\) di \(E\) è riferita al comportamento di tali frazioni al tendere di n all’infinito. Precisamente, si definiscono la densità superiore \( \overline d(E)\) di E e la sua densità inferiore \(\underline d(E)\) come
\[ \overline d(E) = \limsup _{n→∞} \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, … , n\} )}{n+1}\quad , \]\[ \underline d(E) = \liminf _{n→∞} \frac{\mathrm{card}( E ∩ \{ 0, 1, … , n\} )}{n+1}\quad . \]Se \(\overline d(E) = \underline d(E) = d ∈ [0, 1]\), si dice che E ha densità d. (Si veda anche [ 59 ] .)
Si dimostri che, per ogni \(α ∈ ℝ, α ≥ 1\), l’insieme \(E_α = [nα] : n ∈ N\) ha densità \(d = 1/α\) (il simbolo \([x]\) indica la parte intera di \(x ∈ R\)).
Sia \(E = \{ m_ 0 , m_ 1 , … , m_ k , … \} \) un insieme infinito, con \(m_ 0 {\lt} m_ 1 {\lt} … {\lt} m_ k {\lt} …\). Si dimostri che \(\overline d(E) = \limsup _{ k→∞} \frac{k}{m_ k}\) e \(\underline d(E) = \liminf _{ k→∞} \frac{k}{m_ k}\).
Si trovi un insieme E con \(\overline d(E) = \overline d(ℕ ⧵ E) = 1\).
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[1TZ] Note:esercizio 6 nel compito del 13/1/2011.
Ogni numero intero \(n ≥ 1\) si decompone in modo unico come \(n = 2^ k d\), con \(k ∈ N\) e \(d\) intero dispari. Si consideri la successione \(a_ n = d/2^ k\) e se ne determinino
limite superiore e inferiore;
l’insieme dei punti limite.
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[1V0] Argomenti:matrice, determinante. Note:esercizio 4 nello pseudocompitino del 14/3/2013.
Sia \(A∈ℝ^{2× 2}\) una matrice 2 per 2; identificando \(ℝ^{2× 2}\) con \(ℝ^{4}\), si calcoli il gradiente del determinante e si verifichi che è nonnullo se e solo se la matrice è non nulla.
Sia \(Z\) l’insieme delle matrici \(ℝ^{2× 2}\) con determinante nullo; mostrate che è un chiuso con parte interna vuota.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V1’]
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[1V2]Argomenti:matrice,determinante.Difficoltà:*.
Dimostrate la formula di Jacobi:
\[ \frac{d}{d a_{i,j}} \det (A) = C_{i,j}\quad , \]dove \(a_{i,j}\) è l’elemento di \(A\) in riga \(i\) e colonna \(j\), e \(C\) è la matrice dei cofattori di \(A\), che è la trasposta della matrice aggiunta \({\operatorname {adj}}(A)\). Conseguentemente, se \(F:ℝ→ℂ^{n × n}\) è differenziabile, allora
\[ {\frac{d}{dt}}\det F(t)={\operatorname {tr}}\left({\operatorname {adj}}(F(t))\, {\frac{dF(t)}{dt}}\right) \]dove \({\operatorname {tr}}(X)\) è la traccia di \(X\).
Sugg. usate lo sviluppo di Laplace per il determinante.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V3’]
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[1V4]Argomenti:matrice,determinante.Prerequisiti:14.Difficoltà:*.
Vogliamo generalizzare i risultati del precedente esercizio 13 al caso di matrici \(n× n\).
Ricordiamo le seguenti proprietà del determinante delle matrici \(A∈ℝ^{n× n}\).
Il rango è la dimensione dell’immagine di \(A\) (vista come applicazione lineare da \(ℝ^ n\) a \(ℝ^ n\)) ed è anche il massimo numero di colonne linearmente indipendenti in \(A\).
\(A\) ha rango \(n\) se e solo \(\det (A)≠ 0\).
Se si scambiano due colonne in \(A\), il determinante cambia di segno;
se si somma a una colonna un multiplo di un altra colonna il determinante non cambia.
La caratterizzazione del rango tramite i minori, «Il rango di A è pari al massimo ordine di un minore invertibile di A».
lo sviluppo di Laplace del determinante, e la formula di Jacobi (cf 14).
Il determinante di \(A\) è uguale al determinante della trasposta; dunque ogni risultato precedente vale se si legge “riga” invece di “colonna”.
Mostrate i seguenti risultati.
Mostrate che il gradiente della funzione \(\det (A)\) è nonnullo se e solo se il rango di \(A\) è almeno \(n-1\).
Sia \(Z\) l’insieme delle matrici \(ℝ^{n× n}\) con determinante nullo; mostrate che è un chiuso con parte interna vuota.
Sia \(B\) una matrice fissata di rango al più \(n-2\), mostrate che la tesi del teorema è falsa negli intorni \(U_ B\) della matrice \(B\), nel senso che \(Z∩ U_ B\) non è contenuto in una superfice 3 .
con uguaglianza se e solo se \(a^ p = b^ q\); usando un opportuno studio di funzione.
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1V8’]
Si veda anche 3. [1Q6]Determinare fra i triangoli iscritti nel cerchio unitario quello di area massima.