EDB — 1TJ

[1TJ] Argomenti:cerchio osculatore. Note:riadattati dal compitino 9 apr 2011.

Sia \(f:ℝ→ℝ\) derivabile due volte in \(0\), con \(f(0)=0\) e \(f''(0)≠ 0\). Si dimostri che esistono unici un punto \(P=(a,b)\) nel piano e una costante \(r{\gt}0\), tali che

determinando \(a,b,r\) in funzione di \(f'(0),f''(0)\). Si intende che \(d(P,Q)\) è la distanza euclidea fra due punti \(P,Q\) nel piano.

Sugg. per chiarirvi le idee, provate innanzitutto il caso in cui anche \(f'(0)=0\).

(Il grafico della funzione \(f\) è una curva nel piano; per ipotesi questa curva passa per l’origine; in questo esercizio abbiamo determinato il cerchio, di raggio \(r\) e centro \(P\), che meglio approssima la curva nelle vicinanze dell’origine: questo cerchio è detto “cerchio osculatore”, e il suo raggio si chiama “raggio di curvatura”, e l’inverso del raggio è la “curvatura” della curva nell’origine.)