Definizione
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[230]Presa \((a_ n)_{n\in {\mathbb {N}}}\) una successione reale, \((a_{n_ k})_{k\in {\mathbb {N}}}\) è una sottosuccessione quando \(n_ k\) è una successione strettamente crescente di numeri naturali.
Similmente presa \(f:J\to {\mathbb {R}}\), sia \(H\subseteq J\) un sottoinsieme cofinale (come definito in [06P]): sappiamo da [06X] che \(H\) è filtrante. Allora la restrizione \(h={f}_{|{H}}\) è una rete \(h:H\to {\mathbb {R}}\), ed è detta “una sottorete di \(f\)”.
Più in generale, supponiamo che \((H,\le _ H)\) sia cofinale in \((J,\le )\) per mezzo di una mappa \(i:H\to J\); ricordiamo che questo significa (adattando [(3.121)]) che
\begin{equation} \label{eq:cofinale_ H,J} ( ∀ h_ 1,h_ 2∈ H, h_ 1≤_ H h_ 2⇒ i(h_ 1)≤ i(h_ 2) ) ~ ∧~ (∀ j∈ J ~ ∃ h∈ H,~ i(h)≥ j) \quad ; \end{equation}
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allora \(h=f \circ i\) è una sottorete.