[0FR] Prerequisiti:[06V], [06Y], Sez. [1YY].
Dato \(J\) insieme ordinato (parzialmente) e filtrante, e data \(f:J→ℝ\), vogliamo definire il concetto di limite di \(f(j)\) “per \(j→∞\)”. 1 .
Diremo che
\[ \lim _{j∈ J}f(j)=l∈ ℝ \]se
\[ ∀ \varepsilon {\gt}0 \, ∃ k∈ J \, ∀ j∈ J, \, j≥ k ⇒ |l-f(j)|{\lt}\varepsilon \quad . \]Similmente si definiscono i casi \(l=±∞\) (imitando le definizioni usate quando \(J=ℕ\).) (Questa è la definizione negli appunti del corso, cap. 4 sez. 2 in [ 3 ] )
Equivalentemente possiamo dire che
\[ \lim _{j∈ J}f(j)=l∈ \overlineℝ \]se per ogni intorno \(U\) di \(l\) si ha che \(f(j)∈ U\) definitivamente per \(j∈ J\); dove definitivamente è stato definito in [06Y].
Ricordiamo da [231] che “un intorno di \(∞\) in \(J\)” è un sottoinsieme \(U⊆ J\) tale che \(∃ k∈ J ∀ j∈ J , j≥ k ⇒ j∈ U\). Allora possiamo imitare la definizione [20D].
Data \(l∈\overline{ℝ}\) si ha \(\lim _{j∈ J}f(j)=l\) quando per ogni intorno \(V\) “pieno” di \(l\) in \(ℝ\), esiste intorno \(U\) di \(∞\) in \(J\) tale che \(f(U)⊆ V\).
In particolare questa ultima definizione si può usare per definire i limiti di \(f:J→ E\) dove \(E\) è uno spazio topologico.