6 Retta reale[09X]
Indicheremo nel seguito con \(ℝ\) la retta reale, e con \(\overline{ℝ}=ℝ∪\{ +∞,-∞\} \) la sua estensione. 1
Useremo gli intervalli (si veda la definizione in 67).
[2DJ]Dato un insieme \(I⊂ℝ\) vi sono vari modi di dire che una funzione \(f:I→ℝ\) è monotona. Elenchiamo innanzitutto i diversi tipi di monotonia
Purtroppo nell’uso comune vi sono diverse e incompatibili convenzioni usate nel nominare le precedenti definizioni. Ecco una tabella, in cui ogni convenzione è una colonna.
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?? |
non decrescente |
crescente |
debolmente crescente |
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?? |
crescente |
strettamente crescente |
strettamente crescente |
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?? |
non crescente |
decrescente |
debolmente decrescente |
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?? |
decrescente |
strettamente decrescente |
strettamente decrescente |
In questo testo viene usate la convenzione nell’ ultima colonna.
(La prima colonna è, a mio parere, problematica. Spesso porta all’uso, purtroppo comune, di frasi come “\(f\) è una funzione non decrescente” o “prendiamo una funzione \(f\) non decrescente”; questa può dare adito a confusione: sembra dire che \(f\) non soddisfa il requisito di essere decrescente, ma non specifica se è monotona. Chi segue la convenzione in prima colonna (a mio parere) dovrebbe sempre dire anche “monotona”).
- E173
-
Si mostri che ogni intervallo \(I\) in \(ℝ\) ricade in una delle categorie precedentemente viste in 68. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09Z’]
- E173
[20V] Prerequisiti:15.Sia fissato \(𝛼{\gt}0,𝛼∈ℝ\). Sappiamo che, per ogni \(n≥ 1\) naturale, esiste ed è unico un \(𝛽{\gt}0\) tale che \(𝛽^ n=𝛼\), e \(𝛽\) viene denotato dalla notazione \(\sqrt[n]{𝛼}\). (Si veda ad es. la Proposizione 2.6.6 Cap. 2 Sez. 6 degli appunti del corso [ 3 ] oppure Teorema 1.21 in [ 23 ] ). Dato \(q∈ℚ\), scriviamo \(q=n/m\) con \(n,m∈ℤ,m≥ 1\), definiamo
\[ 𝛼^{q}{\stackrel{.}{=}}\sqrt[m]{𝛼^ n}\quad . \]Mostrate che questa definizione non dipende dalla scelta della rappresentazione \(q=n/m\); che
\[ 𝛼^{q}={\big({\sqrt[m]{𝛼}}\big)}^ n\quad ; \]che per \(p,q∈ℚ\)
\[ 𝛼^{q}𝛼^ p=𝛼^{p+q}\quad ,\quad (𝛼^ p)^ q=𝛼^{(pq)}\quad ; \]mostrate che quando \(𝛼 {\gt}1\) allora \(p↦ 𝛼^ p\) è strettamente monotona crescente.
- E173
[20W] Prerequisiti:2.Difficoltà:*.Fissato \(𝛼 {\gt}1\), definite, per \(x∈ℝ\),
\[ 𝛼 ^ x=\sup \{ 𝛼^ p : p∈ℚ, p≤ x\} \quad ; \]mostrate che:
è una buona definizione (cioè che l’insieme a destra è superiormente limitato e non vuoto).
che se \(x\) è razionale allora \(𝛼 ^ x\) così definito coincide con la definizione nel precedente esercizio 2;
mostrate che \(x↦ 𝛼^ x\) è strettamente crescente.
Mostrate che
\[ 𝛼^{x}𝛼^ y=𝛼^{x+y}\quad ,\quad (𝛼^ x)^ y=𝛼^{(xy)}\quad . \]
Si veda anche l’esercizio 4.
- E173
[20X] Siano \(a,b∈ℝ\) tali che
\[ ∀ L∈ℝ, L {\gt} b ⇒ L {\gt} a \quad . \]Dimostrate che \(b≥ a\).
- E173
[0B0] Sia fissato \(I=\{ 1,\ldots n\} \). Siano dati \(n\) punti distinti \(y_ 1,\ldots y_ n∈ℝ\); cerchiamo una permutazione \(𝜎:I→ I\) per cui le diseguaglianze triangolari fra punti successivi siano uguaglianze cioè
\[ |y_{𝜎(i+2)}-y_{𝜎(i+1)}| + |y_{𝜎(i+1)}-y_{𝜎(i)} | =|y_{𝜎(i+2)}-y_{𝜎(i)} | \]per \(i=1,\ldots n-2\). Si mostri che ne esistono solo due, le chiamiamo \(𝜎_ 1,𝜎_ 2\). Suggerimento: mostrate che ogni tale permutazione necessariamente mette i punti “in ordine”, cioè si ha
\[ ∀ i,y_{𝜎_ 1(i+1)}{\gt} y_{𝜎_ 1(i)}\quad ,\quad ∀ i,y_{𝜎_ 2(i+1)}{\lt} y_{𝜎_ 2(i)} \](a meno di decidere quale è \(𝜎_ 1\) e quale è \(𝜎_ 2\)).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0B1’]