Esercizio
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[20V] Prerequisiti:[20T].Sia fissato \(𝛼{\gt}0,𝛼∈ℝ\). Sappiamo che, per ogni \(n≥ 1\) naturale, esiste ed è unico un \(𝛽{\gt}0\) tale che \(𝛽^ n=𝛼\), e \(𝛽\) viene denotato dalla notazione \(\sqrt[n]{𝛼}\). (Si veda ad es. la Proposizione 2.6.6 Cap. 2 Sez. 6 degli appunti del corso [ 3 ] oppure Teorema 1.21 in [ 25 ] ). Dato \(q∈ℚ\), scriviamo \(q=n/m\) con \(n,m∈ℤ,m≥ 1\), definiamo
\[ 𝛼^{q}{\stackrel{.}{=}}\sqrt[m]{𝛼^ n}\quad . \]
Mostrate che questa definizione non dipende dalla scelta della rappresentazione \(q=n/m\); che
\[ 𝛼^{q}={\big({\sqrt[m]{𝛼}}\big)}^ n\quad ; \]
che per \(p,q∈ℚ\)
\[ 𝛼^{q}𝛼^ p=𝛼^{p+q}\quad ,\quad (𝛼^ p)^ q=𝛼^{(pq)}\quad ; \]
mostrate che quando \(𝛼 {\gt}1\) allora \(p↦ 𝛼^ p\) è strettamente monotona crescente.