8.2 Esempi[2BD]

E250

[0HM] Consideriamo su \(ℝ\) le famiglia \(τ_+ =\{ (a, +∞) : a ∈ ℝ\} ∪ \{ ∅, ℝ\} \). Mostrate che è una topologia. È Hausdorff? Calcolate chiusura, parte interna, frontiera e derivato di questi insiemi:

\begin{align*} \{ 0\} \quad ,\quad \{ 0,1\} \quad ,\quad [0,1] \quad ,\quad (0,1) \quad ,\\[0,∞) \quad ,\quad (-∞,0] \quad ,\quad (0,∞) \quad ,\quad (-∞,0) \quad . \end{align*}

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HN’]

E250

[0HP] Prerequisiti:2,2.Sia \(X=ℝ∪\{ +∞,-∞\} \), consideriamo la famiglia \(\mathcal B\) di parti di \(X\) che contiene

• gli intervalli aperti \((a,b)\) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\),

• le semirette \((a,+∞]=(a,+∞)∪\{ +∞\} \) con \(a∈ℝ\),

• le semirette \([-∞,b)=(-∞,b)∪\{ -∞\} \) con \(b∈ℝ\).

(Notate l’analogia degli insiemi nel secondo e terzo punto, con gli “intorni di infinito” visti in Sez. 6.1).

Si mostri che \(\mathcal B\) verifica le proprietà (a),(b) viste in 2. Sia \(𝜏\) dunque la topologia generata da questa base. Lo spazio topologico \((X,𝜏)\) è detto retta estesa, spesso indicata \(\overlineℝ\).

Questo spazio topologico è \(T_ 2\), è compatto (Esercizio 5), e è omoemorfo all’intervallo \([0,1]\). Può essere dotato di una distanza che genera la topologia sopra descritta.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HQ’]

E250

[0HR] Prerequisiti:2,2.Sia \(X=ℝ∪\{ ∞\} \), consideriamo questa famiglia \(\mathcal B\) di parti di \(X\):

• gli intervalli aperti \((a,b)\) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\),

• gli insiemi \((a,+∞)∪(-∞,b)∪\{ ∞\} \) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\).

Si mostri che \(\mathcal B\) verifica le proprietà (a),(b) viste in 2. Sia \(𝜏\) dunque la topologia generata da questa base. Lo spazio topologico \((X,𝜏)\) è detto retta compattificata a un punto. Questo spazio topologico è \(T_ 2\), è compatto (Eser. 6); è omeomorfo alla circonferenza (Eser. 6); dunque può essere dotato di una distanza che genera la topologia sopra descritta.

E250

[0HS] Argomenti:ordinamento diretto.Prerequisiti:55.

Sia \((J,≤)\) un insieme con ordinamento diretto. Decidiamo che un “aperto” in \(J\) è un insieme \(A\) che contiene una “semiretta” della forma \(\{ k∈ J : k≥ j\} \) (per un \(j∈ J\))  ¹ . Sia dunque \(𝜏\) la famiglia di tutti tali aperti, a cui aggiungiamo \(∅,J\). Mostrate che \(𝜏\) è una topologia. Questa topologia è Hausdorff? Quali sono i punti di accumulazione?

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[0HT] Argomenti:punto di accumulazione, massimo, ordinamento diretto.Prerequisiti:55, 4.

Trovate un semplice esempio di insieme \((J,≤)\) con ordinamento diretto che ha massimo ma, associandovi la topologia \(𝜏_ J\) dell’esempio precedente, non ha punti di accumulazione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HV’]

E250

[0HW] Argomenti:ordinamento diretto. Prerequisiti:53, 55, 3.

Sia \((I,≤)\) un insieme con ordinamento diretto e con un massimo che chiamiamo \(∞\). Chiamiamo \(J=I⧵\{ ∞\} \) e assumiamo che \(J\) sia filtrante (con l’ordinamento indotto) e non vuoto. In questo caso proponiamo una topologia più fine. La topologia \(𝜏\) per \(I\) contiene:

• \(∅,I\);

• gli insiemi \(A\) che contengono una “semiretta”, della forma \(\{ k∈ I : k≥ j\} \), per un \(j{\lt}∞\) (che sono detti “intorni di \(∞\)”);

• i sottoinsiemi di \(I\) che non contengono \(∞\).

Mostrate che \(𝜏\) è una topologia. Questa topologia è Hausdorff? Mostrate che \(∞\) è l’unico punto di accumulazione.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0HX’]

La precedente costruzione si può usare in questo modo.

[UNACCESSIBLE UUID ’0HZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0J0’]