10.15 Circonferenza[2CF]

È un chiuso in \(ℝ^ 2\), dunque lo possiamo pensare come uno spazio metrico completo con la distanza Euclidea \(d(x,y)=|x-y|_{ℝ^ 2}\).

Come usuale dato \(t∈ℝ\) indichiamo con \([t]\) la classe degli elementi in \(ℝ/2𝜋\) equivalenti a \(t\).

E314

[0Y5]Considerate la mappa

\begin{eqnarray*} Φ : ℝ/2𝜋 & →& S^ 1\\ {} [t] & ↦ & (\cos (t),\sin (t)) \end{eqnarray*}

mostrate che è ben definita e bigettiva.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y6’]

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[0Y7]Tramite questa bigezione trasportiamo la distanza Euclidea da \(S^ 1\) a \(ℝ/2𝜋\) definendo

\[ d_ e([s],[t])=|Φ([s])-Φ([t])|_{ℝ^ 2} ~ ~ . \]

Con questa scelta la mappa \(Φ\) risulta essere un isometria fra \((S^ 1,d)\) e \((ℝ/2𝜋,d_ e)\) (si riveda la definizione 297). Dunque quest’ultimo è uno spazio metrico completo.

Con qualche semplice calcolo si ricava che

\[ d_ e([s],[t])= \sqrt{ |\cos (t)-\cos (s)|^ 2 + |\sin (t)-\sin (s)|^ 2}= \sqrt{ 2 - 2 \cos (t-s)} ~ ~ . \]

Poi definiamo la funzione

\[ d_ a([s],[t]) = \inf \{ |s-t-2𝜋 k| : k∈ℤ\} ~ ~ , \]

mostrate che è una distanza su \(ℝ/2𝜋\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0Y8’]

E314

[0Y9]Mostrate che \(d_ a([s],[t])\) è la lunghezza del più corto arco in \(S^ 1\) che collega \(Φ([s])\) a \(Φ([t])\).

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[0YB]Mostrate che le distanze \(d_ a\) e \(d_ e\) sono equivalenti, dimostrando che \(\frac{2}{𝜋}d_ a≤ d_ e≤ d_ a\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0YC’]

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[0YD] Prerequisiti:1.Si può facilmente mostrare che una funzione \(f:ℝ/2𝜋→ X\) può essere vista come una funzione periodica \(\tilde f:ℝ→ X\) di periodo \(2𝜋\), e viceversa.

Questo può essere facilmente ottenuto dalla relazione \(f([t])=\tilde f(t)\) dove \(t\) è un generico elemento della sua classe di equivalenza \([t]\). Supponendo che \(\tilde f\) sia periodica di periodo \(2𝜋\), la precedente relazione permette di ricavare \(f\) da \(\tilde f\) e viceversa.

Si mostri che \(f\) è continua se e solo se \(\tilde f\) è continua.

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[0YF] Prerequisiti:3.Sia \((X,𝜏)\) la retta compattificata, lo spazio topologico definito in 3; si mostri che è omeomorfa a \(S^ 1\).

[UNACCESSIBLE UUID ’0YG’]