EDB — 0Y7

Esercizi

1. [0Y7]Tramite questa bigezione trasportiamo la distanza Euclidea da $S^1$ a $ℝ/2𝜋$ definendo

   $$d_e([s],[t])=|\Phi ([s])-\Phi ([t]){|}_{{ℝ}^2}.$$

   Con questa scelta la mappa $\Phi$ risulta essere un isometria fra $(S^1,d)$ e $(ℝ/2𝜋,d_e)$ (si riveda la definizione [0TK]↺↻). Dunque quest’ultimo è uno spazio metrico completo.

   Con qualche semplice calcolo si ricava che

   $$d_e([s],[t])=\sqrt{|\cos (t)-\cos (s){|}^2+|\sin (t)-\sin (s){|}^2}=\sqrt{2-2\cos (t-s)}.$$

   Poi definiamo la funzione

   $$d_a([s],[t])=inf\{|s-t-2𝜋k|:k\in \mathbb{Z}\},$$

   mostrate che è una distanza su $ℝ/2𝜋$.

   Soluzione 1

   [0Y8]↺↻