9.3 Quozienti[2C3]

E287

[0R2] Supponiamo che $d$ soddisfi tutti i requisiti di distanza salvo che la “proprietà di separazione”; consideriamo la relazione $\sim$ su $X$ definita come $x\sim y⟺d(x,y)=0$; mostrate che è una relazione di equivalenza. Definiamo $Y=X/\sim$; mostrate che la funzione $d$ passa al quoziente, cioè che esiste $\tilde{d}:Y\times Y\to [0,\infty )$ tale che, per ogni scelta di classi $s,t\in Y$ e ogni scelta di $x\in s,y\in t$ si ha $\tilde{d}(s,t)=d(x,y)$. Mostrate infine che $\tilde{d}$ è una distanza su $Y$.

Questo procedura è l’equivalente in spazi metrici del quoziente di Kolmogoroff.

E287

[0R3] Sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $\sim$ una relazione di equivalenza su $X$; sia $Y=X/\sim$ lo spazio quoziente. Definiamo la funzione $𝛿:Y^2\to ℝ$ come

$$𝛿(x,y)=inf\{d(s,t):s\in x,t\in y\}.$$

288

È una distanza su $Y$? Di quali proprietà gode fra quelle indicate in 274? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0R4’]

E287

[0R5] Sia $(X,d)$ uno spazio metrico dove $X$ è anche un gruppo, sia $\Theta$ un sottogruppo.

Definiamo che $x\sim y⟺x{y}^{-1}\in \Theta$. Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza. Sia $Y=X/\sim$ lo spazio quoziente. ¹

Supponiamo che $d$ sia invariante rispetto alla moltiplicazione a sinistra per elementi di $\Theta$:

$$d(x,y)=d(𝜃x,𝜃y)\forall x,y\in X,\forall 𝜃\in \Theta .$$

289

(Questo equivale a dire che, per ogni fissato $𝜃\in \Theta$ la mappa $x\mapsto 𝜃x$ è una isometria). Definiamo la funzione $𝛿:Y^2\to ℝ$ come in ??.

• Mostrate che, prese $s,t\in X$, si ha

  $$𝛿([s],[t])=inf\{d(s,𝜃t):𝜃\in \Theta \}$$

  290

  dove $[s]$ è la classe di elementi equivalenti a $s$.

• Mostrate che $𝛿\ge 0$, che $𝛿$ è simmetrica e che $𝛿$ soddisfa la disuguaglianza triangolare.

• Supponiamo che, per ogni fissato $t\in X$, la mappa $𝜃\mapsto 𝜃t$ sia continua da $\Theta$ a $X$; supponiamo inoltre che $\Theta$ sia chiuso: allora $𝛿$ è una distanza. ²

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0R6’]