9.3 Quozienti[2C3]

E287

[0R2] Supponiamo che \(d\) soddisfi tutti i requisiti di distanza salvo che la “proprietà di separazione”; consideriamo la relazione \(∼\) su \(X\) definita come \(x∼ y\iff d(x,y)=0\); mostrate che è una relazione di equivalenza. Definiamo \(Y=X/∼\); mostrate che la funzione \(d\) passa al quoziente, cioè che esiste \(\tilde d:Y× Y→ [0,∞)\) tale che, per ogni scelta di classi \(s,t∈ Y\) e ogni scelta di \(x∈ s,y∈ t\) si ha \(\tilde d(s,t)=d(x,y)\). Mostrate infine che \(\tilde d\) è una distanza su \(Y\).

Questo procedura è l’equivalente in spazi metrici del quoziente di Kolmogoroff.

E287

[0R3] Sia \((X,d)\) uno spazio metrico e \(∼\) una relazione di equivalenza su \(X\); sia \(Y=X/∼\) lo spazio quoziente. Definiamo la funzione \(𝛿:Y^ 2→ℝ\) come

\begin{equation} 𝛿(x,y) = \inf \{ d(s,t) : s∈ x, t∈ y \} ~ ~ .\label{eq:dist_ quoziente} \end{equation}

288

È una distanza su \(Y\)? Di quali proprietà gode fra quelle indicate in 274? Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0R4’]

E287

[0R5] Sia \((X,d)\) uno spazio metrico dove \(X\) è anche un gruppo, sia \(Θ\) un sottogruppo.

Definiamo che \(x∼ y\iff x y^{-1}∈Θ\). Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza. Sia \(Y=X/∼\) lo spazio quoziente. ¹

Supponiamo che \(d\) sia invariante rispetto alla moltiplicazione a sinistra per elementi di \(Θ\):

\begin{equation} d(x,y)=d(𝜃 x,𝜃 y)~ ~ ∀ x,y∈ X,∀ 𝜃∈Θ~ ~ . \label{eq:d_ invarian_ grupp} \end{equation}

289

(Questo equivale a dire che, per ogni fissato \(𝜃∈Θ\) la mappa \(x↦ 𝜃 x\) è una isometria). Definiamo la funzione \(𝛿:Y^ 2→ℝ\) come in ??.

• Mostrate che, prese \(s,t∈ X\), si ha

  \begin{equation} 𝛿([s],[t]) = \inf \{ d(s,𝜃 t) : 𝜃 ∈ Θ \} \label{eq:dist_ quoz_ 1gruppo} \end{equation}

  290

  dove \([s]\) è la classe di elementi equivalenti a \(s\).

• Mostrate che \(𝛿≥ 0\), che \(𝛿\) è simmetrica e che \(𝛿\) soddisfa la disuguaglianza triangolare.

• Supponiamo che, per ogni fissato \(t∈ X\), la mappa \(𝜃↦ 𝜃 t\) sia continua da \(Θ\) a \(X\); supponiamo inoltre che \(Θ\) sia chiuso: allora \(𝛿\) è una distanza. ²

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0R6’]