15.2 Funzione convessa

Le funzioni convesse godono di tantissime proprietà interessanti, questa che segue è solo una piccola lista.

...definizioni equivalenti

E368

[180]Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso. Sia \(f : C →ℝ\) convessa; siano \(x_ 1,\ldots ,x_ n ∈ C\) e \(t_ 1,\ldots ,t_ n ∈ [0, 1]\) tali che \(∑_{i=1}^ n t_ i = 1\). Si mostri che

\[ ∑_{i=1}^ n t_ i x_ i∈ C \]

e

\[ f \left(∑_{i=1}^ n t_ i x_ i\right)≤ ∑_{i=1}^ n t_ i f (x_ i ) ~ . \]

E368

[181] Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso. Sia \(f: C→ ℝ\), si mostri che è convessa, se e solo se l’epigrafico

\[ \{ (x,y)~ |~ x∈ C~ ,~ f(x)≤ y\} \]

è un sottoinsieme convesso di \(C× ℝ\).

Proprietà

Questa che segue è una lista di proprietà per funzioni convesse \(f:C→ℝ\) con \(C⊆ ℝ^ n\). Ovviamente queste proprietà valgono anche quando \(n=1\); ma quando \(n=1\) le dimostrazioni sono in genere più facili, si veda la sezione successiva.

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[182]Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un convesso, e \(f:C→ℝ\) una funzione convessa. Dato \(l\in {\mathbb {R}}\), si definisca l’insieme di sottolivello come

\[ L_ l = \{ x\in ℝ^ n: f(x)\le l\} \quad . \]

Mostrate che \(L_ l\) è un insieme convesso (possibilmente vuoto). Deducete che i punti di minimo di \(f\) sono un insieme convesso (possibilmente vuoto). Mostrate che se \(f\) è strettamente convessa vi può essere al più un punto di minimo.

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[183] Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso; siano \(f_ i:C →ℝ\) convesse, dove \(i∈ I\) (una famiglia non vuota, e arbitraria, di indici), e definiamo \(f(x)=\sup _{i∈ I} f_ i(x)\), dove supponiamo (per semplicità) che \(f(x){\lt}∞\) per ogni \(i\): si mostri che \(f\) è convessa.

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[184] Prerequisiti:2,7.Difficoltà:*.Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un convesso, sia \(f:C→ℝ\) una funzione convessa, sia fissato \(z∈ {{C}^\circ }\): si mostri che esiste \(v∈ℝ^ n\) tale che

\begin{equation} ∀ x∈ C, f(x)≥ f(z) + ⟨ v,x-z⟩~ ~ . \label{eq:piano_ sotto_ convessa} \end{equation}

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Il piano così definito è detto piano di supporto per \(f\) in \(z\). Note:È preferibile non assumere che \(f\) sia continua nel dimostrare questo risultato, in quanto questo risultato si usa in genere per dimostrare che \(f\) è continua!.Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’185’]

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[186] Prerequisiti:327,325,3.Difficoltà:*.

Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso aperto, e \(f:C→ℝ\) una funzione convessa, si mostri che \(f\) è continua.
Note:Nel caso di dimensione \(n=1\), la dimostrazione è molto più facile, si veda 1.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’187’]

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[188] Argomenti:sottodifferenziale.Prerequisiti:3.Difficoltà:*.

Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un convesso aperto, e \(f:C→ℝ\) una funzione convessa; dato \(z∈ C\), si definisce il sottodifferenziale \(∂ f(z)\) come l’insieme dei \(v\) per cui la relazione ?? vale (cioè, \(∂ f(z)\) contiene i vettori \(v\) usati per definire i piani di supporto a \(f\) in \(z\)).

\(∂ f(z)\) gode di interessanti proprietà.

• \(∂ f(z)\) è localmente limitato: se \(z∈ C\) e \(r{\gt}0\) è tale che \(B(z,2r)⊂ C\) allora esiste \(L{\gt}0\) tale che \(∀ y∈ B(z,r)\), \(∀ v∈ ∂ f(x)\) si ha \(|v|≤ L\). In particolare, per ogni \(z∈ C\) si ha che \(∂ f(z)\) è un insieme limitato.

• Mostrate che \(∂ f\) è continua superiormente in questo senso: se \(z∈ C\) e \((z_ n)_ n⊂ C\) e \(v_ n∈∂ f(z_ n)\) e se \(z_ n→_ n z\) e \(v_ n→_ n v\) allora \(v∈∂ f(z)\). In particolare, per ogni \(z∈ C\), \(∂ f(z)\) è un insieme chiuso.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’189’]

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[18B] Argomenti:minimi. Prerequisiti:5.Sia \(C⊆ ℝ^ n\) un convesso, e \(f:C→ℝ\) una funzione convessa. Mostrate che \(z∈ {{C}^\circ }\) è un minimo se e solo se \(0∈ ∂ f(z)\).

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[18C] Prerequisiti:3,5.Note:Un viceversa del 2.

Sia \(C⊂ ℝ^ n\) un convesso aperto; sia \(f:C→ℝ\) convessa; esistono successioni \((a_ h)_ h⊆ℝ,(v_ h)_ h∈ ℝ^ n\) per \(h∈ℕ\), tali che \(f(x)=\sup _{h∈ℕ} (a_ h+v_ h⋅ x)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’18D’]