13.1 Semi continuità[2CV]

Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico.

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[139] Sia \(f : ℝ → ℝ\) definita come \(f (x) = 1\) se \(x ∈ ℝ ⧵ ℚ\), \(f(0)=0\) e e \(f (x) = 1/q\) se \(|x| = p/q\) con \(p, q\) numeri interi primi tra loro con \(q\ge 1\). Mostrare che f è continua su \(ℝ ⧵ ℚ\) e discontinua in ogni \(t ∈ ℚ\).

Mostrate che la funzione descritta è s.c.s. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13B’]

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[13C]Prerequisiti:1.

Costruire una funzione monotona con la stessa proprietà di quella vista nell’esercizio 1.

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[13D]Sia \(f:X→ ℝ\); le seguenti asserzioni sono equivalenti:

1. \(f\) è semicontinua inferiormente,

2. per ogni \(t\), si ha che il sottolivello

   \[ S_ t = \{ x∈ X, f(x)≤ t \} \]

   è chiuso,

3. l’epigrafico

   \[ E = \{ (x,t)∈ X×ℝ, f(x)≤ t \} \]

   è chiuso in \(X× ℝ\).

Si noti che la seconda condizione comporta che \(f\) è continua da \((X,𝜏)\) in \(ℝ,𝜏_+\) dove \(𝜏_+=\{ (a,∞):a∈ℝ\} ∪\{ ∅,ℝ\} \) è l’insieme delle semirette, che è una topologia (facile verifica).

Si formuli poi l’equivalente teorema per le funzioni semicontinue superiormente.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13F’]

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[13G]Se \(f,g:X→ ℝ\) sono semicontinue inferiormente, allora \(f+g\) è s.c.i. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13H’]

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[13J]Sia \(I\) una famiglia di indici; poi, per \(n∈ I\), \(f_ n:X→ℝ\) siano funzioni s.c.i., definiamo \(f{\stackrel{.}{=}}\sup _{n∈ I}f_ n\) allora \(f\) è s.c.i. (a valori \(f:X→ℝ∪\{ +∞\} \)). ¹ . Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13K’]

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[13M]Viceversa, data \(f:ℝ→ℝ∪\{ +∞\} \) s.c.i., si mostri che esiste sempre una successione crescente di funzioni \(f_ n:ℝ→ℝ\) continue tali che \(f_ n(x)→_ n f(x)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13N’]

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[13P]Argomenti:inf-convoluzione. Difficoltà:*. Nel caso in cui \((X,d)\) sia uno spazio metrico e \(f:X→ℝ∪\{ +∞\} \) sia s.c.i. limitata dal basso, sia

\[ f_ n(x) {\stackrel{.}{=}}\inf _{y∈ X} \{ f(y) + n d(x,y) \} \]

la inf-convoluzione: si mostri che la successione \(f_ n\) è una successione crescente di funzioni Lipschitziane con \(f_ n(x)→_ n f(x)\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13Q’]

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[13R]Data \(f:X→ℝ\), si definisce

\[ f^{*}(x)=f(x)∨ \limsup _{y→ x} f(y) \quad ; \]

si mostri che \(f^{*}(x)\) è la più piccola funzione semi continua superiore che è maggiore o uguale a \(f\) in ogni punto.

Similmente si definisce

\[ f_{*}(x)=f(x)∧ \liminf _{y→ x} f(y) \]

e si ha \(-(f^{*})=(- f)_{*}\), e che dunque \(f_{*}(x)\) è la più grande funzione semi continua inferiore che è minore o uguale a \(f\) in ogni punto.

Si noti infine che \(f^*≥ f_*\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13S’]

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[13T]Argomenti:oscillazione.

Data una qualunque \(f:X→ℝ\), si definisce la funzione oscillazione \({\operatorname {osc}}(f)\)

\[ {\operatorname {osc}}(f) (x) {\stackrel{.}{=}}f^{*}(x)-f_{*}(x) \]

1. Si noti che \({\operatorname {osc}}(f)≥ 0\), e che \(f\) è continua in \(x\) se e solo se \({\operatorname {osc}}(f)(x)=0\).

2. Si mostri che \({\operatorname {osc}}(f)\) è semicontinua superiore.

3. Se \((X,d)\) è uno spazio metrico, si noti che

   \[ {\operatorname {osc}}(f) (x) {\stackrel{.}{=}}\lim _{\varepsilon → 0+} \sup \{ |f(y) - f(z)| ~ ,~ d(x,y){\lt}\varepsilon ,d(x,z){\lt}\varepsilon \} \quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13V’]

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[13W]Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico e \(f:X→ℝ\) una funzione; sia \(\overline x∈ X\) un punto di accumulazione; sia infine \(U_ n\) una famiglia di intorni aperti di \(\overline x\) con \(U_ n⊇ U_{n+1}\). Allora esiste una successione \((x_ n)⊂ X\) con \(x_ n∈ U_ n\) e \(x_ n≠ \overline x\) e tale che

\[ \lim _{n→∞}f(x_ n)=\liminf _{x→ \overline x}f(x)~ ~ . \]

(Si noti che in generale non pretendiamo né ci aspettiamo che \(x_ n→\overline x\)). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’13X’]

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[13Y] Sia \((X,𝜏)\) uno spazio topologico e \(f:X→ℝ\) una funzione; sia \(\overline x∈ X\) un punto di accumulazione; Sia \(A\) l’insieme di tutti i limiti \(\lim _ n f(x_ n)\) (quando esistono) per tutte le successioni \((x_ n)⊂ X\) tali che \(x_ n→ \overline x\); allora

\[ \liminf _{x→ \overline x}f(x)≤ \inf A~ ~ ; \]

inoltre se \((X,𝜏)\) soddisfa il primo assioma di numerabilità, allora l’uguaglianza vale e \(\inf A=\min A\).

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[13Z]Sia \(f_ 1:[0,∞]→ [0,∞]\) funzione monotona (debolmente crescente) e continua a destra. Sia poi \(f_ 2:[0,∞)→[0,∞]\) data da

\[ f_ 2 (s) = \sup \{ t≥ 0 : f_ 1 (t) {\gt} s\} \]

(con la convenzione che \(\sup ∅ =0\)) e poi ancora \(f_ 3:[0,∞)→[0,∞]\) data da

\[ f_ 3 (s) = \sup \{ t≥ 0 : f_ 2 (t) {\gt} s\} \quad : \]

allora \(f_ 1≡ f_ 3\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’140’]