2.6 Funzioni elementari

E79

[09G]Siano $n,m,k$ interi positivi. Si dimostri che il numero $(n+\sqrt{m}{)}^k+(n-\sqrt{m}{)}^k$ è intero.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09H’]

E79

[09J]Sia $K$ un intero positivo, $N$ un intero, sia $I=\{N,N+1,\dots ,N+K\}$ la successione degli interi da $N$ a $N+K$. Per ogni $n\in I$ fissiamo un valori intero $a_n$. Sia $p$ l’unico polinomio di grado $K$ tale che $p(n)=a_n$ per ogni $n\in I$.

• Si mostri che $p$ ha coefficienti razionali.

• Si mostri che $p(x)$ è intero per ogni $x$ intero.

• Si trovi un esempio di polinomio $p$ che assume valori interi per $x$ intero, ma che non ha tutti coefficienti interi.

• Cosa succede se $I$ contiene $K+1$ interi ma non consecutivi? È ancora vero che, definito $p(x)$ come sopra, $p$ assume solo valori interi sugli interi?

E79

[09K]Sia $p(x)$ un polinomio a coefficienti reali di grado $n$, si mostri che esiste $c>0$ tale che per ogni $x$ si abbia $|p(x)|\le c(1+|x{|}^n)$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’09M’]

E79

[211](Proposto il 2022-12) Si dimostri che, per $n\ge 2$,

$${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\ge \log (n)$$

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’212’]