: Limiti superiori e inferiori<a class="btn btn-sm" href="/UUID/EDB/29P/?lang=ita"><span class="ttfamily"><small class="scriptsize">[29P]</small></span></a>

5.5 Limiti superiori e inferiori[29P]

Dalla precedente definizione passiamo alle definizioni di “limite superiore” $lim sup$ e “limite inferiore” $lim inf$ . L’idea è così espressa.

Definizione 191

[20F] Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione. Si definiscono

\begin{array}{r} \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) = inf_{U intorno di x_{0}} sup_{x \in U \cap I} f (x) \\ \underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) = sup_{U intorno di x_{0}} inf_{x \in U \cap I} f (x) \end{array}

dove il primo “inf” (risp. il “sup”) si esegue rispetto alla famiglia di tutti gli intorni $U$ di $x_{0}$ (sempre del tipo “col buco”); e gli intorni saranno destri o sinistri se il limite è destro o sinistro.

Nota 194

[20G](Svolto il 2022-11-29) Usando le proprietà di $inf, sup$ , otteniamo ad esempio queste caratterizzazioni

\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \leq l ⟺ \forall z > l, definitivamente per x \to x_{0}, f (x) < z;

\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \geq l ⟺ \forall z < l, frequentemente per x \to x_{0}, f (x) > z;

e così via. (In questa scrittura semplificata, diamo per sottointeso che $x \in I$ ).

In particolare, ponendo

l = \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x)

, le precedenti caratterizzano esattamente il "limsup".

Corollario 195

[20N]Si ha $𝛼 = \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x)$ se e solo se

\forall z > 𝛼, definitivamente per x \to x_{0}, f (x) < z;

\forall z < 𝛼, frequentemente per x \to x_{0}, f (x) > z .

Le esplicitiamo ulteriormente in quanto segue. (Si raccomanda di provare a riscrivere autonomamente alcune voci, a titolo di esercizio).

Proposizione 196

[0BK] Nel caso $x_{0} \in ℝ$ e $l \in ℝ$ , dividiamo la definizione in due condizioni: ¹

$\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \leq l$

$\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I, f (x) > l - ε$

$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim sup} f (x) \leq l$

$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim sup} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x > x_{0}, x \in I, f (x) > l - ε$

$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim sup} f (x) \leq l$

$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim sup} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x < x_{0}, x \in I, f (x) > l - ε$

$\underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) \geq l$

$\underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) \leq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > l - ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I, f (x) < l + ε$

$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim inf} f (x) \geq l$

$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim inf} f (x) \leq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > l - ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x > x_{0}, x \in I, f (x) < l + ε$

$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim inf} f (x) \geq l$

$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim inf} f (x) \leq l$

$\forall ε > 0, \exists 𝛿 > 0, \forall x, | x - x_{0} | < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > l - ε$

$\forall ε > 0, \forall 𝛿 > 0, \exists x, | x - x_{0} | < 𝛿, x < x_{0}, x \in I, f (x) < l + ε$

Nel caso $x_{0} \in ℝ$ e $l = \pm \infty$ :

$\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) = \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I, f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim sup} f (x) = \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I, f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim sup} f (x) = \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I, f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim sup} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim sup} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) < z$

$\underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim inf} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim inf} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists 𝛿 > 0, \forall x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$\underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) = - \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x \neq x_{0}, x \in I, f (x) < z$
$\underset{x \to x_{0}^{+}}{lim inf} f (x) = - \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x > x_{0}, x \in I, f (x) < z$
$\underset{x \to x_{0}^{-}}{lim inf} f (x) = - \infty$	$\forall z, \forall 𝛿 > 0, \exists x, \| x - x_{0} \| < 𝛿, x < x_{0}, x \in I, f (x) < z$

Nel caso $x_{0} = \pm \infty$ e $l = \pm \infty$ :

$\underset{x \to \infty}{lim sup} f (x) = \infty$	$\forall z, \forall y, \exists x, x > y, x \in I, f (x) > z$
$\underset{x \to - \infty}{lim sup} f (x) = \infty$	$\forall z, \forall y, \exists x, x < y, x \in I, f (x) > z$
$\underset{x \to \infty}{lim sup} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) < z$
$\underset{x \to - \infty}{lim sup} f (x) = - \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) < z$

$\underset{x \to \infty}{lim inf} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$\underset{x \to - \infty}{lim inf} f (x) = \infty$	$\forall z, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) > z$
$\underset{x \to \infty}{lim inf} f (x) = - \infty$	$\forall z, \forall y, \exists x, x > y, x \in I, f (x) < z$
$\underset{x \to - \infty}{lim inf} f (x) = - \infty$	$\forall z, \forall y, \exists x, x < y, x \in I, f (x) < z$

Nel caso $x_{0} = \pm \infty$ e $l \in ℝ$ :

$\underset{x \to \infty}{lim sup} f (x) \leq l$

$\underset{x \to \infty}{lim sup} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \forall y, \exists x, x > y, x \in I, f (x) > l - ε$

$\underset{x \to - \infty}{lim sup} f (x) \leq l$

$\underset{x \to - \infty}{lim sup} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \forall y, \exists x, x < y, x \in I, f (x) > l - ε$

$\underset{x \to \infty}{lim inf} f (x) \leq l$

$\underset{x \to \infty}{lim inf} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \forall y, \exists x, x > y, x \in I, f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x > y, x \in I \Rightarrow f (x) > l - ε$

$\underset{x \to - \infty}{lim inf} f (x) \leq l$

$\underset{x \to - \infty}{lim inf} f (x) \geq l$

$\forall ε > 0, \forall y, \exists x, x < y, x \in I, f (x) < l + ε$

$\forall ε > 0, \exists y, \forall x, x < y, x \in I \Rightarrow f (x) > l - ε$

Nota 197

[0BM]Notate che

\underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) = \infty ⟺ lim_{x \to x_{0}} f (x) = \infty

\underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) = - \infty ⟺ lim_{x \to x_{0}} f (x) = - \infty

Nota 198

[0BN]Si noti che se si sostituisce $f \mapsto - f$ , $l \mapsto - l$ , si passa dalle definizioni del $lim sup$ a quelle del $lim inf$ (e viceversa). Un’altra simmetria si ottiene scambiando $x_{0} \to - x_{0}$ e gli intorni/limiti destri e sinistri.

E198

[0BP] Siano $A_{1}, A_{2} \dots$ insiemi , per $n \in ℕ$ ; sia $X = ⋃_{n} A_{n}$ . Definiamo la funzione caratteristica $1_{A} : X \to ℝ$ come

1_{A} (x) = {\begin{cases} 1 & se x \in A \\ 0 & se x \notin A \end{cases} .

Useremo le definizioni $\underset{n}{lim sup} A_{n}$ e $\underset{n}{lim inf} A_{n}$ viste in eqn. ?? e ??. Si ha

\begin{array}{rcl} 1_{(\underset{n}{lim sup} A_{n})} & = & \underset{n}{lim sup} 1_{A_{n}}, \\ 1_{(\underset{n}{lim inf} A_{n})} & = & \underset{n}{lim inf} 1_{A_{n}} . \end{array}

E198

[0BQ] Fissiamo una successione $a_{n}$ a valori reali; consideriamo ora la definizione in 191 ponendo $I = ℕ$ e $x_{0} = \infty$ , in modo che gli intorni di $x_{0}$ siano gli insiemi contenenti $[n, \infty) = {m \in ℕ : m \geq n}$ ; con questi presupposti mostrate che si ha

\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = & inf_{n} sup_{m \geq n} a_{n} = lim_{n \to \infty} sup_{m \geq n} a_{n}, \\ \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = & sup_{n} inf_{m \geq n} a_{n} = lim_{n \to \infty} inf_{m \geq n} a_{n} ., \end{aligned}

E198

[29R]Prerequisiti:191,174,53,236,3.Difficoltà:*.(Proposto il 2022-11-24)

Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione. Come in 174 siano $F$ tutti gli intorni di $x_{0}$ con l’ordinamento filtrante

U, V \in F, U \leq V ⟺ U \supseteq V .

Sia

s, i : F \to ℝ, s (U) = sup_{x \in U \cap I} f (x), i (U) = inf_{x \in U \cap I} f (x)

notate che sono funzioni monotone, e mostrate che ²

\begin{array}{r} \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) \dot{=} inf_{U \in F} s (U) = lim_{U \in F} s (U) \\ \underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) \dot{=} sup_{U \in F} i (U) = lim_{U \in F} i (U) \end{array}

dove i limiti sono definiti in 236.

E198

[29S]Prerequisiti:3.(Svolto il 2022-11-24)

Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , e siano $f, g : I \to ℝ$ funzioni. Mostrate che

\underset{x \to x_{0}}{lim sup} (f (x) + g (x)) \leq \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x) + \underset{x \to x_{0}}{lim sup} g (x) .

E198

[29T]Sia $I \subset ℝ$ , $x_{0} \in \overset{―}{ℝ}$ punto di accumulazione di $I$ , $f : I \to ℝ$ funzione. Siano $r > 0, t \in ℝ, 𝜌 < 0$ ; mostrate che

\begin{array}{r} \underset{x \to x_{0}}{lim sup} (f (x) + t) = t + \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x), \underset{x \to x_{0}}{lim sup} (r f (x)) = r \underset{x \to x_{0}}{lim sup} f (x), \\ \underset{x \to x_{0}}{lim sup} (𝜌 f (x)) = 𝜌 \underset{x \to x_{0}}{lim inf} f (x) . \end{array}

Altri esercizi su limiti di successioni si trovano in Sez. 6.1.