5.5 Limiti superiori e inferiori[29P]
Dalla precedente definizione passiamo alle definizioni di “limite superiore” \(\limsup \) e “limite inferiore” \(\liminf \). L’idea è così espressa.
[20F] Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione. Si definiscono
dove il primo “inf” (risp. il “sup”) si esegue rispetto alla famiglia di tutti gli intorni \(U\) di \(x_ 0\) (sempre del tipo “col buco”); e gli intorni saranno destri o sinistri se il limite è destro o sinistro.
[20G](Svolto il 2022-11-29) Usando le proprietà di \(\inf ,\sup \), otteniamo ad esempio queste caratterizzazioni
e così via. (In questa scrittura semplificata, diamo per sottointeso che \(x∈ I\)).
[20N]Si ha \(𝛼=\limsup _{x→ x_ 0} f(x)\) se e solo se
[0BK] Nel caso \(x_ 0∈ℝ\) e \(l∈ℝ\), dividiamo la definizione in due condizioni: 1
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\(\limsup _{x→ x_ 0} f(x) ≤ l\) \(\limsup _{x→ x_ 0} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^+} f(x) ≤ l\) \(\limsup _{x→ x_ 0^+} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^-} f(x) ≤ l\) \(\limsup _{x→ x_ 0^-} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
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\(\liminf _{x→ x_ 0} f(x) ≥ l\) \(\liminf _{x→ x_ 0} f(x) ≤ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}l-\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}l+\varepsilon \) |
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\(\liminf _{x→ x_ 0^+} f(x) ≥ l\) \(\liminf _{x→ x_ 0^+} f(x) ≤ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0,∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}l-\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}l+\varepsilon \) |
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\(\liminf _{x→ x_ 0^-} f(x) ≥ l\) \(\liminf _{x→ x_ 0^-} f(x) ≤ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}l-\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}l+\varepsilon \) |
Nel caso \(x_ 0∈ℝ\) e \(l=±∞\):
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\(\limsup _{x→ x_ 0} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}z \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^+} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}z \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^-} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I, f(x){\gt}z \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^+} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\limsup _{x→ x_ 0^-} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\liminf _{x→ x_ 0} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\liminf _{x→ x_ 0^+} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
|
\(\liminf _{x→ x_ 0^-} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∃ 𝛿 {\gt}0, ∀ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
|
\(\liminf _{x→ x_ 0} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x≠ x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}z \) |
|
\(\liminf _{x→ x_ 0^+} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\gt} x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}z \) |
|
\(\liminf _{x→ x_ 0^-} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∀ 𝛿 {\gt}0, ∃ x, |x-x_ 0|{\lt}𝛿, x{\lt} x_ 0, x∈ I, f(x){\lt}z \) |
Nel caso \(x_ 0=±∞\) e \(l=±∞\):
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\(\limsup _{x→ ∞} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∀ y,∃ x,x{\gt}y, x∈ I, f(x){\gt}z \) |
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\(\limsup _{x→ -∞} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∀ y,∃ x,x{\lt}y, x∈ I, f(x){\gt}z \) |
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\(\limsup _{x→ ∞} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∃ y,∀ x,x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\limsup _{x→ -∞} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∃ y,∀ x,x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}z \) |
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\(\liminf _{x→ ∞} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∃ y,∀ x,x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\liminf _{x→ -∞} f(x) =∞\) |
\(∀ z, ∃ y,∀ x,x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}z \) |
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\(\liminf _{x→ ∞} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∀ y,∃ x,x{\gt}y, x∈ I, f(x){\lt}z \) |
|
\(\liminf _{x→ -∞} f(x) =-∞\) |
\(∀ z, ∀ y,∃ x,x{\lt}y, x∈ I, f(x){\lt}z \) |
Nel caso \(x_ 0=±∞\) e \(l∈ℝ\):
|
\(\limsup _{x→ ∞} f(x) ≤ l\) \(\limsup _{x→ ∞} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ y, ∃ x, x{\gt}y, x∈ I, f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
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\(\limsup _{x→ -∞} f(x) ≤ l\) \(\limsup _{x→ -∞} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ y, ∃ x, x{\lt}y, x∈ I, f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
|
\(\liminf _{x→ ∞} f(x) ≤ l\) \(\liminf _{x→ ∞} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ y, ∃ x, x{\gt}y, x∈ I, f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\gt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
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\(\liminf _{x→ -∞} f(x) ≤ l\) \(\liminf _{x→ -∞} f(x) ≥ l\) |
\(∀ \varepsilon {\gt}0, ∀ y, ∃ x, x{\lt}y, x∈ I, f(x){\lt}l+\varepsilon \) \(∀ \varepsilon {\gt}0, ∃ y, ∀ x, x{\lt}y, x∈ I⇒f(x){\gt}l-\varepsilon \) |
[0BM]Notate che
e
[0BN]Si noti che se si sostituisce \(f↦ -f\), \(l↦ -l\), si passa dalle definizioni del \(\limsup \) a quelle del \(\liminf \) (e viceversa). Un’altra simmetria si ottiene scambiando \(x_ 0 → -x_ 0\) e gli intorni/limiti destri e sinistri.
- E198
[0BP] Siano \(A_ 1,A_ 2\ldots \) insiemi , per \(n∈ℕ\); sia \(X=⋃_ n A_ n\). Definiamo la funzione caratteristica \({\mathbb 1}_ A: X→ℝ\) come
\[ {\mathbb 1}_ A(x)= \begin{cases} 1 & \text{se}~ x∈ A\\ {} 0 & \text{se}~ x∉ A \end{cases} ~ . \]Useremo le definizioni \(\limsup _{n} A_ n\) e \(\liminf _{n} A_ n\) viste in eqn. ?? e ??. Si ha
\begin{eqnarray} \label{eq:limsup_ insiemi_ 1} {\mathbb 1}_{(\limsup _{n} A_ n)} & =& \limsup _{n} {\mathbb 1}_{A_ n} ~ ~ ,\\ {} \label{eq:liminf_ insiemi_ 1} {\mathbb 1}_{(\liminf _{n} A_ n)} & =& \liminf _{n} {\mathbb 1}_{A_ n} ~ ~ . \end{eqnarray}- E198
[0BQ] Fissiamo una successione \(a_ n\) a valori reali; consideriamo ora la definizione in 191 ponendo \(I=ℕ\) e \(x_ 0=∞\), in modo che gli intorni di \(x_ 0\) siano gli insiemi contenenti \([n,∞)=\{ m∈ℕ:m≥ n\} \); con questi presupposti mostrate che si ha
\begin{align} \limsup _{n→ ∞} a_ n =& \inf _ n \sup _{m≥ n} a_ n= \lim _{n→∞} \sup _{m≥ n} a_ n~ ~ , \nonumber \\ \liminf _{n→ ∞} a_ n =& \sup _ n \inf _{m≥ n} a_ n= \lim _{n→∞} \inf _{m≥ n} a_ n~ . \label{eq:def_ limsup_ liminf_ succ}, \end{align}- E198
[29R]Prerequisiti:191,174,53,236,3.Difficoltà:*.(Proposto il 2022-11-24)
Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione. Come in 174 siano \({\mathcal F}\) tutti gli intorni di \(x_ 0\) con l’ordinamento filtrante
\[ U,V∈ {{\mathcal F}}~ ~ , U≤ V \iff U⊇ V\quad . \]Sia
\[ s,i : {\mathcal F}→ℝ~ ~ ,~ ~ s(U) = \sup _{x∈ U∩ I} f(x)~ ~ ,~ ~ i(U) = \inf _{x∈ U∩ I} f(x) \]notate che sono funzioni monotone, e mostrate che 2
\begin{align} \limsup _{x→ x_ 0} f(x) {\stackrel{.}{=}}\inf _{U∈ {\mathcal F}} s(U) = \lim _{U∈ {\mathcal F}} s(U) \label{eq:limsup_ R_ F} \\ \liminf _{x→ x_ 0} f(x) {\stackrel{.}{=}}\sup _{U ∈ {\mathcal F}} i(U) = \lim _{U ∈ {\mathcal F}} i(U) \label{eq:liminf_ R_ F} \end{align}dove i limiti sono definiti in 236.
- E198
[29S]Prerequisiti:3.(Svolto il 2022-11-24)
Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), e siano \(f,g:I→ ℝ\) funzioni. Mostrate che
\[ \limsup _{x→ x_ 0} \big( f(x) + g(x) \big) \le \limsup _{x→ x_ 0} f(x) + \limsup _{x→ x_ 0} g(x)\quad . \]- E198
[29T]Sia \(I⊂ ℝ\), \(x_ 0∈ \overline{ℝ}\) punto di accumulazione di \(I\), \(f:I→ ℝ\) funzione. Siano \(r{\gt}0,t∈ℝ,𝜌{\lt}0\); mostrate che
\begin{align*} \limsup _{x→ x_ 0} (f(x) +t) = t+\limsup _{x→ x_ 0}f(x)~ ~ ,~ ~ \limsup _{x→ x_ 0}(r f(x)) = r \limsup _{x→ x_ 0} f(x)~ ~ ,~ ~ \\ \limsup _{x→ x_ 0}(𝜌 f(x)) = 𝜌 \liminf _{x→ x_ 0} f(x)~ ~ . \end{align*}
Altri esercizi su limiti di successioni si trovano in Sez. 6.1.