Esercizio
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[0BP] Siano \(A_ 1,A_ 2\ldots \) insiemi , per \(n∈ℕ\); sia \(X=⋃_ n A_ n\). Definiamo la funzione caratteristica \({\mathbb 1}_ A: X→ℝ\) come
\[ {\mathbb 1}_ A(x)= \begin{cases} 1 & \text{se}~ x∈ A\\ {} 0 & \text{se}~ x∉ A \end{cases} ~ . \]
Useremo le definizioni \(\limsup _{n} A_ n\) e \(\liminf _{n} A_ n\) viste in eqn. [(3.286)] e [(3.287)]. Si ha
\begin{eqnarray} \label{eq:limsup_ insiemi_ 1} {\mathbb 1}_{(\limsup _{n} A_ n)} & =& \limsup _{n} {\mathbb 1}_{A_ n} ~ ~ ,\\ {} \label{eq:liminf_ insiemi_ 1} {\mathbb 1}_{(\liminf _{n} A_ n)} & =& \liminf _{n} {\mathbb 1}_{A_ n} ~ ~ . \end{eqnarray}