EDB — 0CX

Esercizi

1. [0CX] Difficoltà:*.

   Sia \(a_{n,m}\) una successione reale ¹ a due indici \(n,m∈ℕ\). Supponiamo che

   • per ogni \(m\) esista il limite \(\lim _{n→ ∞} a_{n,m}\), e che

   • esista finito il limite \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) uniformemente in \(n\), cioè

     \[ ∀ \varepsilon {\gt}0 ,~ ∃ m∈ℕ~ ∀ n∈ℕ ,~ ∀ h≥ m ~ ~ | a_{n,h}-b_ n|{\lt}\varepsilon ~ ~ . \]

   allora

   \begin{equation} \lim _{n→ ∞} \lim _{m→ ∞} a_{n,m}= \lim _{m→ ∞} \lim _{n→ ∞} a_{n,m}\label{eq:limlimlimlim} \end{equation}

   3

   nel senso che se uno dei due limiti esiste (possibilmente infinito), allora esiste anche l’altro, e sono uguali.

   Trovate un semplice esempio in cui i due limiti in 3 sono infiniti.

   Trovate un esempio in cui \(\lim _{m→ ∞} a_{n,m}=b_ n\) ma il limite non è uniforme e la precedente uguaglianza 3 non vale.

   Soluzione 1

   [0CZ]↺↻