EDB — 1JS

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Esercizi

  1. [1JS] Sia \(I⊂ℝ\) un aperto, sia \(\hat x\) un punto di accumulazione per \(I\)  1  , sia \(f_{m}:I→ℝ\) una successione di funzioni limitate che convergono uniformemente a \(f:I→ℝ\) quando \(m→ ∞\). Supponiamo che per ogni \(m\) esista \(\lim _{x→ \hat x} f_{m}(x)\) allora

    \[ \lim _{m→ ∞} \lim _{x→\hat x} f_{m}(x)= \lim _{x→\hat x} \lim _{m→ ∞} f_{m}(x) \]

    nel senso che se uno dei due limiti esiste allora esiste anche l’altro, e sono uguali. (Il precedente risultato vale anche per limiti destri o limiti sinistri).

    Mostrate con un semplice esempio che se il limite non è uniforme allora la precedente uguaglianza non vale.

    Soluzione 1

    [1JT]

    (Si veda anche l’esercizio [0CX]).

  1. Includendo anche il caso in cui \(I\) è superiormente illimitato e \(\hat x=+∞\), oppure il caso in cui \(I\) è inferiormente illimitato e \(\hat x=-∞\).
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Bibliografia
Indice analitico
  • punto di accumulazione, nella retta reale
  • convergenza, puntuale
  • convergenza, uniforme
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