EDB — 0RC

Esercizi

1. [0RC] Argomenti:insieme ingrassato.Prerequisiti:[0R9]↺↻.

   Consideriamo uno spazio metrico \((M,d)\). Sia \(A⊆ M\) chiuso e non-vuoto, sia \(r{\gt}0\) fissato, e sia \(d_ A\) la funzione distanza definita come in eqn. [(9.62)]↺↻. Sia poi \(E=\{ x,d_ A(x)≤ r\} \), notate che è chiuso.

   1. Mostrate che

      \begin{equation} d_ E(x)≥ \max \{ 0, (d_ A(x)-r)\} ~ ~ .\label{eq:d_ E_ d_ A_ r} \end{equation}

      62

   2. Mostrate che in ?? si ha uguaglianza se \(M=ℝ^ N\).

   3. Date un semplice esempio di spazio metrico in cui non si ha uguaglianza in ??.

   4. Se \(M=ℝ^ n\), dato \(A⊂ ℝ^ n\) chiuso non-vuoto, mostrate che \(E=A ⊕ D_ r\) dove \(D_ r{\stackrel{.}{=}}\{ x, |x|≤ r\} \) e

      \[ A ⊕ B{\stackrel{.}{=}}\{ x+y,x∈ A, y∈ B\} \]

      è la somma di Minkowski dei due insiemi (si anche veda la sezione [2CP]↺↻).

   Soluzione 1

   [0RD]↺↻

   L’insieme \(\{ x,d_ A(x)≤ r\} =A ⊕ D_ r\) è alle volte chiamato “ingrassato” di \(A\). In figura 3 vediamo un esempio di insieme \(A\) ingrassato per \(r=1,2\); l’insieme \(A\) è il poligono nero (che è pieno) mentre le linee tratteggiate nel disegno indicano i contorni degli insiemi ingrassati. ¹ Si vedano anche le proprietà in sezioni [2CP]↺↻ e [2CQ]↺↻.