Esercizi
[0ZZ] Prerequisiti:[106], [19D], [0ZX].Difficoltà:*.Diremo che lo spazio normato \((X,\| ⋅\| )\) è strettamente convesso 1 se le seguenti proprietà equivalenti valgono.
Il disco \(D=\{ x∈ X:\| x\| ≤ 1\} \) è strettamente convesso. 2
La sfera \(\{ x∈ X,\| x\| =1\} \) non contiene segmenti non-banali (cioè, segmento di lunghezza positiva).
Per \(v,w∈ D\) con \(\| v\| =\| w\| =1\) e \(v≠ w\), per ogni \(t\) con \(0{\lt}t{\lt}1\) si ha che \(\| t v+(1-t)w\| {\lt}1\).
Per ogni \(v,w∈ X\) che sono linearmente indipendenti si ha \( \| v+w\| {\lt} \| v\| +\| w\| \quad .\)
Dimostrate che le quattro precedenti clausule sono equivalenti.
[ [101]]
Soluzione 1