EDB — 156

[156]Prerequisiti:[155]↺↻.Sia \(f:X_ 1→ X_ 2\) con \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici.

Una funzione \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) monotona (debolmente) crescente, con \(𝜔(0)=0\) e \(\lim _{t→ 0+}𝜔(t)=0\), tale che

è detta modulo di continuità per la funzione \(f\). (Notate che \(f\) può avere molti moduli di continuità).

Per esempio se la funzione \(f\) è Lipschitziana cioè esiste \(L{\gt}0\) tale che

allora \(f\) soddisfa la eqz. ?? ponendo \(𝜔(t)=L t\).

Vedremo ora che l’esistenza di un modulo di continuità è equivalente alla uniforme continuità di \(f\).

• Se \(f\) è uniformemente continua, mostrate che la funzione

  \begin{equation} 𝜔_ f(t) = \sup \{ d_ 2(f(x), f(y)) ~ :~ x,y∈ X_ 1,d_ 1(x,y)≤ t \} \label{eq:modulo_ cont_ con_ sup} \end{equation}

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  è il più piccolo modulo di continuità. ¹

• Notate che il modulo definito in ?? potrebbe non essere continuo, e potrebbe essere infinito per \(t\) grande — trovate esempi a riguardo.

• Mostrate inoltre che se \(f\) è uniformemente continua si può trovare un modulo che è continuo dove è finito.

• Viceversa è facile vericare che se \(f\) ha un modulo di continuità, allora è uniformemente continua.

Se non conoscete la teoria degli spazi metrici, potete dimostrare i precedenti risultati nel caso in cui \(f:I→ ℝ\) con \(I⊆ℝ\). (Si veda anche l’esercizio [15W]↺↻, che mostra che in questo caso il modulo \(𝜔\) definito in ?? è continuo ed è finito).